構(gòu)造輔助函數(shù)解題

潘培彬 張立建 陶富春

不等式恒成立、有解等問題，往往需構(gòu)造輔助函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)解題.這里列舉幾種常用的構(gòu)造函數(shù)的方法，供大家參考.

一、不等式的證明

證明不等式f（x）>g（x），常用方法是：1作差構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），轉(zhuǎn)化為證明h（x）min>0.當(dāng)h（x）求導(dǎo)后不易求得最小值時，考慮方法2；2求f（x）min，g（x）max，若滿足f（x）min>g（x）max，則不等式f（x）>g（x）得證；3上述兩法都不合適時，考慮先變形，再運(yùn)用上述兩法.

作差構(gòu)造輔助函數(shù)

例1（2013北京18）設(shè)l為曲線C：y=lnxx在點(diǎn)（1，0）處的切線.

（1）求l的方程；

（2）證明：除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在直線l的下方.

分析：第（1）問考查函數(shù)f（x）=lnxx的在某點(diǎn)處的切線；第（2）問考查函數(shù)f（x）=lnxx與其他函數(shù)圖象的關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為不等式lnxx0，x≠1恒成立，進(jìn)而作差構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=x-1-lnxx，x>0，x≠1，求證g（x）min>0即可.

解析：（1）切線l的方程為y=x-1；（2）除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在直線l的下方等價于lnxx0，x≠1恒成立.只需證x-1-lnxx>0，x>0，x≠1恒成立.令g（x）=x-1-lnxx，x>0，x≠1，只需證g（x）min>0.下求g（x）min.g′（x）=x2-1+lnxx2，又h（x）=x2-1+lnx在（0，+∞）上是增函數(shù)，且h（1）=0，故g′（x）=x2-1+lnxx2=0有且只有一個根x=1.因此，x∈（1，+∞）時，g′（x）>0，函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；x∈（0，1）時，g′（x）<0，函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減.故g（x）min>g（1）=0.即除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在直線l的下方.

變形構(gòu)造輔助函數(shù)

例2（2014全國新課標(biāo)21）設(shè)函數(shù)f（x）=aexlnx+bex-1x，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為y=e（x-1）+2.

（1）求a，b；

（2）證明：f（x）>1.

分析：第（2）問，f（x）=exlnx+2ex-1x求導(dǎo)得f′（x）=exlnx+1xex-2x2ex-1+2xex-1，超越方程f′（x）=0的根不能操作.故必須轉(zhuǎn)化，通常方法是將ex與lnx，ex與1x分離，將f（x）>1轉(zhuǎn)化為不等式xlnx>xex-2e，再證明（xlnx）min>（xex-2e）max，故只需構(gòu)造兩個函數(shù)g（x）=xlnx和函數(shù)h（x）=xe-x-2e.

解析：（1）略，a=1，b=2.

（2）f（x）=exlnx+2ex-1x，從而f（x）>1等價于xlnx>xe-x-2e.

設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，所以當(dāng)x∈（0，1e）時，g′（x）<0；當(dāng)x∈（1e，+∞）時，g′（x）>0，故g（x）在（0，1e）單調(diào)遞減，在（1e，+∞）單調(diào)遞增，從而g（x）min=g（1e）=-1e.令h（x）=xe-x-2e，則h′（x）=e-x（1-x），所以當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）>0；當(dāng)x∈（1，+∞）時，h′（x）<0，故h（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，從而h（x）max=h（1）=-1e.故g（x）min≥h（x）max，等號取不到.故g（x）min>h（x）max.即（xlnx）min>（xex-2e）max成立，所以f（x）>1.

點(diǎn)評：對于由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)組合而成的函數(shù)，常將指數(shù)和對數(shù)分……