一類廣義四元素群上的Cayley圖

曲靖師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 馬 麗

一類廣義四元素群上的Cayley圖

曲靖師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 馬 麗

對稱圖的研究起源于W.T.Tutte在1949年的一個重要結論。他證明了，當s≤6時不存在s-弧傳遞3度圖。Cayley圖作為一類具有高對稱性的圖受到廣泛研究。本文主要研究一類廣義四元素群上的Cayley 圖，并給出此類圖的具體刻畫。

廣義四元素群 Cayley圖 O'Nan-Scott型

一、預備知識

本文所有的圖都是簡單的連通圖，給定一個圖Γ，用V Γ、E Γ、A Γ、Aut（Γ）分別表示它的點集、邊集、弧集和全自同構群。

令G是一個有限群，S為G的不包含單位元1的子集，我們?nèi)缦露x群G關于其子集S的Cayley（有向）圖。

定義1：圖Γ=Cay（G，S），其中圖的頂點集V Γ=G，邊集E Γ=｛（x，y）|yx-1∈S｝。

Cayley圖是一類重要的點傳遞圖，關于Cayley圖有下列重要結論。

Γ=Cay（G，S）是群G關于子集S的Cayley圖，則：

（1）Aut（Γ）包含G的右正則表示R（G），因而Γ是點傳遞的。

（2）Γ連通當且僅當G=〈S〉。

（3）Γ是無向圖當且僅當S=S-1。

定義2：廣義四元素群Q4p=｛〈a，b〉|a2p=1，b2=1，ab=a-1｝，根據(jù)定義關系知Q4p中的2p階元素為ai，（i，2p）=1，4階元為aib，其中i∈Z2p。

二、主要結果及其證明

設Γ=Cay（G，S）是群G關于子集S的Cayley圖，對任意α∈Aut（G）則容易驗證α是由圖Γ=Cay（G，S）到圖Γ=Cay（G，Sα）的圖同構。

考慮Cayley 圖的連通性和無向性，即G=〈S〉，S=S-1且不包含單位元的生成子集S在自同構Aut（G）下的軌道，則我們有如下的定理：

證明：由于Cayley圖Γ是連通的，無向的。

則有S=S-1且G=〈S〉，因此S≠1。

下面分別考慮|S|=2和|S|=3情形。

當|S|=2，此時可分為以下兩種情況討論：S中只含有4階元； S中只含有2m+1階元。

（1）S中只含有4階元

G中全體4階元集合為｛a±2m-1，aib|0≤i≤2m+1｝，則S有下列2種情況：｛a2m-1，-2m-1｝，｛aib，a-ib-1｝。

然而這兩個集合中的元素分別生成〈2m-1〉和〈aib〉，所以都不能生成群G。

（2）S中只含有2m+1階元

G中全體2m+1階元集合為｛ai|i∈Z2m+1，（i，2m+1）=1｝。于是S只可能為｛ai，a-i｝。此時S中的元素只能生成群〈ai〉，顯然G≠〈S〉。

當|S|=3時，由于S=S-1，故S中必包含有2階元。故3元子集在AutG下的軌道，可分如下情況討論：S中只包含2階元； S中只包含2階元和2m+1階元；S中不包含2m+1階元。

（1）S中只包含2階元

由于G中全體2階元有3個：a2m、b2、a2mb2，因此全體2階元生成〈a2m，b2〉，顯然G≠〈S〉。

（2）S中只包含2階元和2m+1階元

則S只有3種情況：｛ai，a-i，a2m｝，｛ai，a-i，a2mb2｝，｛ai，a-i，b2｝ 。顯然這三種情形都不可能生成G。

（3）S中不包含2m+1階元

G中的非2m+1階元為ai、aib、i，為偶數(shù)。

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ISSN2095-6711/Z01-2016-10-0236

馬麗（1983—），女，博士，講師，研究方向：群與圖