數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的立足點(diǎn)

福建省將樂縣第四中學(xué) 楊永泰

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的立足點(diǎn)

福建省將樂縣第四中學(xué) 楊永泰

“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”在總體目標(biāo)中提出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)（包括數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能。”在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有計(jì)劃、有意識(shí)、有步驟地滲透一些數(shù)學(xué)思想方法，是體現(xiàn)義務(wù)教育性質(zhì)，落實(shí)課程目標(biāo)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要舉措。

數(shù)學(xué)思想方法 換元 類比轉(zhuǎn)化 數(shù)形結(jié)合 分類

數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在教學(xué)中是至關(guān)重要的，因此，教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要舉措。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)把握時(shí)機(jī)，適時(shí)不斷滲透和傳導(dǎo)數(shù)學(xué)思想，它是數(shù)學(xué)教學(xué)的立足點(diǎn)。下面我就結(jié)合平時(shí)的教學(xué)，談?wù)剮追N常見的數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的滲透。

一、換元思想

用字母表示數(shù)是初等代數(shù)的核心思想，這是初中數(shù)學(xué)中最早出現(xiàn)的換元思想，以后在每個(gè)知識(shí)環(huán)節(jié)中會(huì)反復(fù)接觸到，尤其是在因式分解、整式乘法、分式、二次根式的加減運(yùn)算和解方程等內(nèi)容中都不斷地運(yùn)用這一基本思想指導(dǎo)解題活動(dòng)。教學(xué)中，教師應(yīng)注重通過設(shè)計(jì)問題序列，暴露“元”的形成背景，讓學(xué)生了解“元”的產(chǎn)生與變化形式，引導(dǎo)學(xué)生用換元思想進(jìn)行解題。例如：代數(shù)第三冊(cè)P29例5和例6。

例題5：把多項(xiàng)式x2-y2+ax+ay分解因式

例題6：把多項(xiàng)式a2-2ab+b2-c2分解因式

我在教學(xué)中設(shè)計(jì)了如下問題序列：

A：探索例5時(shí)：①將bm+am分解因式怎么樣分解？②然后把m換成（x+y）后問學(xué)生：b（x+y）+a（x+y）怎么樣分解？③接下來把b換成（x-y）即：（x-y）（x+y）+a（x+y）怎么樣分解？④最后問學(xué)生例1該怎么樣分解？

B：探索例6時(shí)：①出示a2-c2如何分解因式 ？②（a-b）2-c2如何分解？③例題2如何分解？

這種用換元的方法由簡(jiǎn)到繁地展示解題過程，不僅解決了這節(jié)課教學(xué)中的難點(diǎn)，而且使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問題的形式可變得越來越復(fù)雜，但原型相同，達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)的目的。

二、類比思想

類比是依據(jù)兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，把其中一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（已知的知識(shí)）遷移到另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象上，從而獲得對(duì)后一個(gè)對(duì)象的新知識(shí)。類比是偉大的引路人，是很有創(chuàng)造性的一種思想方法。數(shù)學(xué)家拉普拉斯指出：“在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比。”數(shù)學(xué)中根據(jù)類比對(duì)象間某些相同或相似的屬性，引導(dǎo)學(xué)生大膽進(jìn)行推理和聯(lián)想，可使學(xué)生開辟出新知識(shí)的天地和產(chǎn)生創(chuàng)造性的靈感。

例如，在學(xué)開方運(yùn)算一節(jié)時(shí)從加與減、乘與除的互逆運(yùn)算中，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想乘方是否也有逆運(yùn)算？從而引入開方的知識(shí)。在學(xué)習(xí)相似三角形的性質(zhì)和判定時(shí)，從全等三角形的性質(zhì)和判定引導(dǎo)學(xué)生去猜想推證相似三角形應(yīng)具有哪些性質(zhì)和判定，并結(jié)合實(shí)際事例說明全等是大小相等，形狀相同，而相似是大小不等，形狀相同，因而教師可大膽地讓學(xué)生通過合理的猜想和推測(cè)而得到相似三角形有關(guān)的性質(zhì)和判定，然后在教師的指導(dǎo)下進(jìn)一步進(jìn)行論證。在復(fù)習(xí)分式一章時(shí)，我采用列表把分?jǐn)?shù)的概念、性質(zhì)和運(yùn)算與分式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算通過類比的思想方法逐項(xiàng)對(duì)照，學(xué)生不難看出分式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算與分?jǐn)?shù)的概念、性質(zhì)和運(yùn)算只有一個(gè)“數(shù)”改成“式”而已。使學(xué)生在分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上深刻理解分式，充分體現(xiàn)了“數(shù)式通性”的原則。

這樣通過類比進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生好理解，易接受，便記憶。總之，在教學(xué)中通過類比可開闊學(xué)生的思路，啟迪思維，由此及彼，由表及里。

三、轉(zhuǎn)化思想（化歸思想）

轉(zhuǎn)化思想是根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過觀察，類比聯(lián)想等方法將一種對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種研究對(duì)象的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中，就是將原問題進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的或已解決的或易于解決的問題的思想。它能化新為舊，化繁為簡(jiǎn)，化隱為顯，化一般為特殊，化未知為已知，化抽象為具體。教材中的每一章節(jié)都充分體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想,它是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。在教學(xué)中的一個(gè)重要出發(fā)點(diǎn)就是如何建立學(xué)生原有知識(shí)的結(jié)構(gòu)與新知識(shí)之間的相應(yīng)聯(lián)系，以激發(fā)學(xué)生有意義地學(xué)習(xí)。教師如何教會(huì)學(xué)生將問題進(jìn)行有意義的轉(zhuǎn)化是提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的關(guān)鍵所在。在教學(xué)中,我們要不斷誘發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的欲望，使之形成自覺轉(zhuǎn)化的意識(shí)。

例如，在對(duì)“三角形內(nèi)角和”的探索中，我首先讓每位學(xué)生剪一個(gè)三角形，再把它的三個(gè)角剪下來拼在一起，這正好與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)（平角的定義）產(chǎn)生了聯(lián)系。然后我引導(dǎo)學(xué)生從圖形上將三角形的三個(gè)角移到一起，這就不難得出下面的一些轉(zhuǎn)化辦法：（如圖）

通過添加平行線可把三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，正好合成了一個(gè)平角，從而得出“三角形的內(nèi)角和等于180°”。

又如，拋物線的頂點(diǎn)P（-2，8）與x軸的交點(diǎn)為A（2，0），C（-6，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，6），求四邊形ABPC的面積。

這道題要我們求四邊形ABPC的面積，由于它是一個(gè)不規(guī)則的任意四邊形，只有通過轉(zhuǎn)化為幾個(gè)三角形與特殊四邊形才能求解，這時(shí)要啟發(fā)學(xué)生連接OP，則△COP與△BOP與△AOB的面積之和就是四邊形ABPC的面積，即：S四邊形ABPC=S△COP+S△BOP+ S△AOB=24+6+6=36。

這種轉(zhuǎn)化思想具有普遍的意義，在解題實(shí)踐中被廣泛應(yīng)用。

四、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，因而數(shù)學(xué)研究是圍繞著數(shù)與形進(jìn)行的。“數(shù)”就是方程、函數(shù)、不等式及表達(dá)式，代數(shù)中的一切內(nèi)容；“形”就是圖形、圖像、曲線等。數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)，幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是抓住數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，以“形”直觀地表達(dá)數(shù)，以“數(shù)”精確地研究形。華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微。”通過深入的觀察、聯(lián)想，由形思數(shù)，由數(shù)想形，利用圖形的直觀誘發(fā)直覺。數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特點(diǎn)是抽象，然而數(shù)學(xué)教學(xué)要求把抽象的東西形象化，又通過直觀的形象來深化抽象的內(nèi)容，因此，教師在教學(xué)時(shí)要不斷創(chuàng)設(shè)數(shù)形結(jié)合的情景。

數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的良好載體，初中代數(shù)的大部分內(nèi)容，如果讓數(shù)軸參與其中，這部分內(nèi)容就顯得格外形象、直觀、生動(dòng)。假若不等式組的解集不在數(shù)軸上標(biāo)出各個(gè)不等式的解集來，則其公共部分就不易確定。