利用導數構造函數證明不等式

河北樂亭第一中學 邵敬毅

利用導數構造函數證明不等式

河北樂亭第一中學 邵敬毅

導致 不等式 構造函數

不等式的證明有多種方法，以下是我在學習導數時掌握的一種證明不等式的新方法——構造函數法.應用這種方法證明不等式需要仔細觀察定義域，找準關系，看清條件，分析特征，利用導數判斷函數單調性求最值、極值等.該類題目可以考查我們對于函數知識的靈活運用能力，可謂全面而細致，巧妙而成形.

一、構造函數F（x）=f（x）-g（x），證明F（x）≥0

當 x∈（1，+∞）時，F'（x）>0，函數F（x）在（1，+∞）上單調遞增.

∴g（x）>f（x）.

∴在（1，+∞）上，f（x）的圖像在g（x）的圖像下方．

解題心得：要證明F（x）≥0，可通過構造函數F（x）=g（x）-f（x），從而將不等式證明問題轉化為函數的最值問題，通過證明[F（x）]最小值≥0，使問題得以解決.

二、作差后局部構造函數

(1)求l的方程；

（2）證明：除切點（1，0）外，曲線C在直線l的下方．

∴直線l的方程為y=x-1.

∴當0

當x>1時，g'（x）>0，g（x）單調遞增．

∴當x=1時，g（x）有最小值g（1）=0，

∴g（x）≥0(當且僅當x=1時取等號).

∴除切點（1，0）外，曲線C在直線l的下方．

解題心得：通過局部構造函數，可以使復雜問題簡單化，步步為營，各個擊破，最終使問題得以解決.

三、取對數后構造函數

例3已知函數f（x）=x-(x+1)ln(x+1)

求：(1)f（x）的單調區間；

(2)證明：當n>m>0時，（1+n）m<（1+m）n．

解：(1)f'（x）

令f'（x）>0得：-1

令f'（x）<0得：x>0，

∴f（x）的單調遞增區間為（-1，0），單調遞減區間為（0，+∞）．

(2)要證（1+n）m<（1+m）n，

由(1)知：

f（x）在（0，+∞）上單調遞減，

∴當x>0時，f（x）

即：x-（1+x）ln（1+x）<0.

∴g（x）在（0，+∞）上單調遞減.

∵n>m>0， ∴g（n）

從而有：（1+n）m<（1+m）n．

解題心得：通過對要證不等式（1+n）m<（1+m）n的分析，通過兩邊取對數，可以使表達式的函數特征更加明顯，從而實現從不等式證明到判斷函數單調性的轉化.

四、從條件特征入手構造函數證明

例 4 已知f（x）是定義在（0，+∞）上的非負可導函數，且滿足xf'（x）+f（x）≤0.對任意正數a，b，若a

A.af（b）≤bf（a）

B.bf（a）≤af（b）

C.af（a）≤bf（b）

D.bf（b）≤af（a）

解：xf'（x）+f（x）≤0圯[xf（x）]'≤0，

∴ 函數F（x）=xf（x）在（0，+∞）上為常函數或單調遞減．

又∵0

∴af（a）≥bf（b）>0，①

∴af（b）≤bf（a），故選A．

解題心得：由函數在某區間導數值的正負判斷可判斷原函數在該區間的單調性，由此可聯想到[xf（x）]'=xf'（x）+f（x），使問題得到初步的解決，此外，本題還綜合考查了不等式的性質.