談談初中幾何原創題編創的幾種途徑

浙江省永嘉縣實驗中學 李淑槐

談談初中幾何原創題編創的幾種途徑

浙江省永嘉縣實驗中學 李淑槐

平時的解題是解答現有的題目，體現的是教師的自我解題能力，一線教師對此往往非常重視，但卻忽視原創題的編創.原創題的編創要求教師把知識、方法、能力落實到具體的題目，即要求作者以研究者的眼光來審視和深思編創過程的每一個細節.這個過程是豐富多彩的，方法是多種多樣的：用數學的眼光去觀察生活，可以發現有趣的命題素材；用學生常見的學具去擺放，可以發現新穎的圖形結構；用智慧的頭腦，加以先進的軟件，可以編創有深度的綜合題.每一道題從想法到成型都是一次次思維的歷練.所以，編創出一道滿意的，甚至賞心悅目的題目來，是要付出艱苦勞動的，要有執著的精神與創新的意識.它能使教師從單純的解題者、講題者提升到編題者，同時能使教師對課本知識、教學大綱的理解躍上一個新的層次，更好地為教學服務.本文將從若干個方面結合自己的實踐經驗談談對原創題編創的一些淺見.

初中數學 原創題 思維歷程 途徑

教師，尤其是數學教師，在平時教學活動中是要大量解題的.事實上，一個解題能力強大的數學老師確實是會受到學生與同行的贊許甚至是崇拜的，而且各種針對教師的解題基本功比賽也開展得較多，因此，一線教師都十分注重解題方法與技巧的學習與積累.相對的，原創題的編創就被“冷落”多了.

原創即作者首創，是模仿與抄襲的反義，是一種蛻變.幾何原創題指在數學幾何學科的環境下進行的數學題目編創.每年的中考等各種考試都會誕生大量的原創題，其編創的價值除了作為試卷起到了考查、選拔的作用外，它所展示的創新理念、方法革新與發展方向同樣是極其重要的.

一、原創題編創的原則

生活是多姿多彩的，當我們用數學的眼光去觀察生活時，往往可以發現許多有趣的原創素材.經過反復地斟酌、演算、修改與檢驗，許多素材最后都可以設計成一道道讓人滿意的原創試題.那么，初中幾何原創題編創要遵循哪些原則呢？

1.基礎咬定是根本.

抓好“雙基”教學是基礎教育永恒的主題.近年來，有些教師有意無意漠視“雙基”，崇尚能力，事實上，能力應扎根于基礎才會“枝繁葉茂”.而考場上經常有“運算能力低，基本技能差，思想方法疲軟以及懂而不會、會而不對、對而不快”的現象.加強平時的常規訓練，注重通性通法的應用勢在必行.因此命題者要擺正心態，不要故意和學生過意不去，要盡量設置起點低、入口寬的題目，讓大部分學生能解答.

2.能力立意是永恒.

對于“能力立意”，筆者的理解是落點在能力，而不是讓學生吃閉門羹，應該搭建合適的平臺，引領學生拾級而上，登臨高峰.筆者認為，應低起點，高落點，立足于學生的思維高度，真正的數學教學就是教“思考”，就是教“思維”.

3.創新意識是靈魂.

作為一線教師，所解的數學題目不可謂不多，但要進行原創題編創時，往往就會“理屈詞窮”，無從下手，只會解題，不會編題是一種普遍狀況.究其原因多是平時不注重原創題的編創，而創新意識，這一靈魂要素的缺失正是原創題編創困難的最大原因.

二、原創題編創的途徑

下面筆者以去年參加縣初中教師命題創新大賽中自己的原創題為例，結合中考原題談談初中幾何原創題編創的幾種途徑.

1.看出”數學題——在觀察中創作.

為了找到理想的創作素材，就需要平時細心觀察生活.當時正值國慶期間，街道商鋪的墻壁掛滿了國旗，就想，若能創作一道以國旗為載體的題目，既能考查知識點，又有愛國主義的思想內涵，可謂一舉兩得.于是筆者進行了如下創作：

（1）確定創作內容，以四邊形、特殊三角形（三角函數）為對象.

（2）確定幾何模型.經過實際觀察，國慶期間街道商鋪的墻壁上所掛的國旗多為以下兩種形式：

以上兩種可稱為平掛式與斜插式，平掛式創作余地不大，創作難以新穎，因此選定為斜插式.對斜插式進行抽象得到下面圖形.

（3）確定題目數據.國旗是神圣的，其大尺寸不可隨意更改，故查詢資料后選擇長1440mm，寬960mm較為合適.而斜插傾角的選擇對于初中生來說60°比較容易接受.

（4）確定問題設置.根據所編題目，可以預設多個問題，如C或D離地面的高度，建立坐標系后求某點的坐標等，在進行綜合比較后，最終定稿如下：

每逢國慶佳節，在我國許多街巷兩側的單位、商戶都會斜插著掛起國旗，以示慶祝.如圖，矩形ABCD是一面4號（長1440mm，寬960mm）國旗，插掛在墻壁上離地面2m的M處（不計插入墻體部分），墻壁與地面垂直，旗桿BM長1.5米，且與墻壁的夾角呈60°，則國旗的頂點D距離地面的高度為_____m.（結果保留三位有效數字）

評析：本題設計思維含量高，包含豐富的數學知識，解法不單一，難度也適中.既充分體現了命題者細心的觀察與發現，又突出數學來源生活，數學服務生活的學科屬性.

2.“擺出”數學題——在實驗中創作.

在日常教學中，經常用到一些學具，如三角板、圓規、幾何體模型等.熟練地運用這些學具是一個數學教師的基本功之一，而這些學具也為原創題提供了豐富的素材源泉.如最常見的三角板類題，在歷年全國各地的中考題中經常出現.例如2011年福建龍巖中考第22題：

一副直角三角板疊放如圖所示，現將含45°角的三角板ADE固定不動，把含30°角的三角板ABC繞頂點A順時針旋轉α（α=∠BAD且0°＜α＜180°）使兩塊三角板至少有一組邊平行.

（1）如圖①，α=______°時，BC∥DE；

圖①

（2）請你分別在圖②、圖③的指定框內，各畫一種符合要求的圖形，標出α，并完成各項填空：

圖②

圖③

圖②中α=____°時，____∥____；

圖③中α=____°時，____∥____.

本題在創編時使用了學生最熟悉的一副三角板，固定三角板ADE不動，在旋轉三角板ABC的過程中發現兩塊三角板至少有一組邊平行，可以說，這題目是“擺”出來的.

評析：數學教學中有效使用學具，加強操作，增加學生的參與程度，符合學生的認知規律，有利于學生對新知識的獲取與掌握.同樣是一副三角板疊放，該題以獨特視角呈現和考查，重視學生的基礎知識和動手操作能力，顯示了編者的匠心獨運.

3.“畫出”數學題——在作圖中創作.

為了創作出理想的題目來，在確定知識點與難度值后，筆者經常在草稿紙、在幾何畫板上畫一些圖畫.剛開始時會沒什么想法，但第一筆畫下，總會有第二筆，第三筆，如此類推，或多或少總有收獲.

(1)在草稿紙上畫.

在創作“圓”這個知識的一道選擇題時，筆者經歷了以下圖形變化過程：

最終題目如下：

如圖，已知線段AB=4，C是AB的中點，以AC和BC為直徑分別向線段AB的兩側做半圓，圓心分別為O1、O2，過點A作半圓O2的切線l1，過點B作半圓O1的切線l2，那么兩條切線間的距離是（ ）

剛開始創作時帶有極強的隨意性，然后一次次的作圖，一次次的被否定，直到偶然看到字母“S”，擦去部分圓是這個題目成型的關鍵，充滿了原創的味道.

評析：本題圖形新穎、美觀，看似兩條平行線中夾著一個英文字母“S”，讓學生充滿親切感，也體會到處處有數學，事事皆學問.本題作為選擇題，各個選項設置也較有特色，對成績不佳的同學頗具迷惑性，但總體上難度不大，學生只要基本功扎實，均可正確的解題.

（2）利用幾何畫板畫.

幾何畫板（The Geometer's Sketchpad）是一款優秀的專業學科平臺軟件.它是以數學為根本，以“動態幾何”為特色來動態表現設計者的思想，供用戶探索幾何奧秘的一個新工具.它能夠準確地、動態地表現幾何問題，為充分展現幾何元素在運動狀態下保持幾何關系不變性，提供了方便的動態演示.因此幾何畫板帶來的不僅是教學軟件的技術提升，更是創編數學題目方法的一次革命.

這次要創作一個綜合題，要求是難度值0.35左右，主要知識：三角形（或四邊形）、相似、方程及函數.筆者集中重做了2006~2011年連續6年的溫州市中考壓軸題，將目光聚焦在四邊形中，確定把直角梯形作為背景圖.

①確定起點

在幾何畫板上直接給定直角梯形，數據是簡單又特殊的一組勾股數，并將起點定的很低，低到學生很意外，即第（1）小題確定為：

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=30cm， AD=40cm，連結BD，且BD=BC，（1）求線段BC的長.

看似簡單，卻也處處體現了筆者的精心設計.

②確定動點

在AD、BD長度的基礎上，動點P的速度選為4cm／s，動點Q的速度選為5cm／s，顯然是非常不錯的.而且筆者一開始就堅定地選擇點P要從點A出發，沿AD向終點D運動，但同時出發的點Q是從點B還是從點D出發，則讓人十分糾結.在這個問題上幾何畫板發揮了它不可替代的作用：一遍遍的演示.

③確定“中點”

這個“中點”并不是指線段或位置的中點，而是指這個壓軸題里中等難度的小題.根據創作要求，筆者確定了函數與等腰三角形這兩塊知識為主要考查對象，同時在解題過程中須應用相似、方程、函數等知識點及分類的數學思想.并且難度不能過高，要給中等學業水平的學生以發揮的空間.

設動點P、Q的運動時間為t（s），△PDQ的面積為S.若動點Q從點B出發，S關于時間t的函數解析式自然是沒有問題的，且難度不高.但是，當下一步把題目定為：當t為何值時，△PDQ為等腰三角形時，則在形狀探究上就出了問題，演算與幾何畫板操作都發現在這種情況下的數據不甚理想，所以改為點Q從點D出發.幾何畫板演示下△PDQ的形狀經變化成為等腰三角形直觀了，學生在做草圖解決此題也簡單了，即第②③小題確定為：

②設△PDQ的面積為S，求S關于t的函數解析式.

③當t為何值時，△PDQ為等腰三角形.

這樣大部分學生至少能解決一部分題目，部分同學能解決整個②③題.

④確定亮點

若題目就此作罷，顯然十分一般，并無特色，所以最后的“升華”必不可少.能否找到一個亮點，就成了這個題目創作成敗的關鍵.在幾何畫板上，筆者做了無數次的嘗試，最終形成了以下主要思路：

a.以上題目均設定在△ABD中，梯形這個條件并沒有被充分利用，所以整個題目內容應擴大到△BCD內.

b.線段PQ若延長，既可交在邊CD上，還也可交在折線D-C-B（設交點為E），為問題的多樣性帶來可能.

c.可以通過圖形變換來加強幾何題的靈活性、探索性，如旋轉、對稱等.

d.點P關于對角線BD的對稱點P′可通過幾何畫板得到，并在幾何畫板上讓點P與P′關聯，再設置速度運動，當P運動時來觀察點P′的位置變化．

e.在運動的過程中發現若連結P′E，則P′E與BD在兩個時間點平行.

最終將第④小題設定為：連結并延長PQ交折線D-C-B于點E，若點P關于線段BD的對稱點為P′，連結P′E，當t= ____時，P′E∥BD（要求直接寫出答案）.

附兩種情況：