線性齊次Q周期系數系統的Floquet理論

曲婧佳，商玉鳳

(空軍航空大學基礎部，吉林長春 130022)

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線性齊次Q周期系數系統的Floquet理論

曲婧佳，商玉鳳

(空軍航空大學基礎部，吉林長春 130022)

[摘要]本文介紹了線性齊次周期系數系統的Floquet理論，在此基礎上進一步推導出線性齊次Q周期系數系統的Floquet理論。

[關鍵詞]線性齊次周期系數系統；線性齊次Q周期系數系統；Floquet理論

1線性齊次周期系數系統的Floquet理論

考慮線性齊次周期系數系統

(1)

其中，A(t)是在(-∞，+∞)上連續且以T(T>0)為周期的n×n矩陣函數，滿足A(t+T)=A(t).

定理1在變換x=H(t)y之下，系統(1)可化為線性齊次常數系統

其中，K=T-1lnD，設Φ(t)是系統(1)的一個基本解矩陣，D為使得Φ(t+T)=Φ(t)D的常值矩陣，H(t)=Φ(t)e-tK.

2線性齊次Q周期系數系統的Floquet理論

下面考慮線性齊次Q周期系數系統

(2)

其中，A(t)是在(-∞，+∞)上連續的n×n矩陣函數，且滿足A(t+T)Q=QA(t)，T>0，Q為可逆常值矩陣.

定理2設Φ(t)是系統(2)的一個基本解矩陣，則Q-1Φ(t+T)也是系統(2)的基本解矩陣，此外，對于每個Φ(t)，存在一個可微且滿足P(t+T)=QP(t)的非奇異矩陣函數P(t)，以及一個常值矩陣R使得

Φ(t)=P(t)etRQ.

證明記Ψ(t)=Q-1Φ(t+T)，t∈(-∞，+∞).因為

所以Ψ(t)滿足

=Q-1QA(t)Q-1Φ(t+T)=A(t)Q-1Φ(t+T)

=A(t)Ψ(t)，t∈(-∞，+∞).

此外，由于對于一切t∈(-∞，+∞)，detΦ(t)≠0，故detΨ(t)=det(Q-1Φ(t+T))≠0，所以Ψ(t)=Q-1

Φ(t+T)系統(2)的一個基本解矩陣.

因此，Φ(t)與Ψ(t)只相差一個非奇異矩陣C，Q-1Φ(t+T)=Φ(t)C，且存在一個常值矩陣R使得C=eTRQ，即有

R=T-1[lnC]Q-1.

(3)

令

P(t)=Φ(t)e-tRQ.

(4)

因為Φ(t)是系統(2)的一個基本解矩陣，所以它對一切t∈(-∞，+∞)都是非奇異的和可微的，e-tRQ對于一切t∈(-∞，+∞)也都是非奇異的和可微的，所以P(t)也是非奇異的和可微的.此外

P(t+T)=Φ(t+T)e-(t+T)RQ=QΦ(t)Ce-(t+T)RQ=QΦ(t)eTRQe-(t+T)RQ=QΦ(t)e-tRQ=QP(t).

由(4)得到結論

Φ(t)=P(t)etRQ.

對于系統(2)有類似定理1的結論.

定理3系統(2)在變換x=P(t)y之下，可化為線性齊次常數系統

(5)

其中，R和P(t)分別由(3)和(4)給出.

證明x=P(t)y，兩邊對t求導，得到

由于x滿足系統(2)，故有

從而

(6)

利用(4)，并考慮到Φ(t)是系統(2)的一個基本解矩陣，可知

=A(t)Φ(t)e-tRQ-A(t)Φ(t)e-tRQ+Φ(t)RQe-tRQ

=Φ(t)e-tRQRQ

=P(t)RQ.

(7)

將(7)代入(6)，即得(5).

[參考文獻]

[1]陸啟韶,彭臨平,楊卓琴.常微分方程與動力系統[M].北京:北京航空航天大學出版社,2010.

[2]韓茂安.動力系統的周期解與分支理論[M].北京:科學出版社,2002.

[3]伍卓群,李勇.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2004.

The Floquet Theory of Linear Homogeneous Q Periodic Coefficient System

QU Jing-jia，SHANG Yu-feng

(Fundamental Department, Aviation University of Air Force, Changchun Jilin 130022, China)

Abstract:In this paper, we introduced the Floquet theory of linear homogeneous periodic coefficient system, then deduced Floquet theory of linear homogeneous Q periodic coefficient system.

Key words:linear homogeneous periodic coefficient system;linear homogeneous Q periodic coefficient system; Floquet theory

[作者簡介]曲婧佳(1986- )，女，講師，碩士，從事常微分方程研究。

[收稿日期]2015-10-11

[中圖分類號]O175

[文獻標識碼]A

[文章編號]2095-7602(2016)02-0007-02