2個趣味數字問題及其推理解決

吳朝陽

在計算機語言里，每一個字符都對應一個編碼，所有字符都有自己的碼值。以前一般使用的是所謂的ASCII碼，現在則發展成為UNICODE。在ASCII碼和UNICODE中，0-9的碼值、A-Z的碼值、a-z的碼值分別是連續遞增的碼值區。因此，知道了0、A及a的ASCII碼值，則這3類字符的碼值也就都知道了。由于換行符和空格符也是編程中最常用的字符，因此記住它們與0、A、a的ASCII碼值，將給編程者提供不小的便利。有趣的是，這5個字符的ASCII和UNICODE碼值相同，它們依次為10、32、48、65和97。5個碼值中，從O～9這10個數字不多不少，恰好各出現1次。

我們今天要談的，是30多年前我還是中學生的時候遇到過的2個趣味數字問題。同樣有趣的是，它們中的一個正是從O～9這10個數字恰好各出現1次的趣味數字題。

問題一：一個數的立方及4次方總計有10個數字，它們正好從0～9各有1個，請問這個數是多少？

這個問題的答案是18，簡單計算很容易得到：l83=5832，l84=104976。在5832和104976這2個數中，從0～9的10個數字恰好各出現1次。

擱在現在，這個答案編個小程序就很容易得到。然而，在連計算器都沒有的年代，用紙筆漫無目標地用試算法來尋找答案是一件很費力的事情。因此，用數學推理的方法尋找這個問題的答案，不僅是一個考驗推理能力的辦法，也是一個聰明的辦法。我個人認為，這種數學推理方法非常值得學習，因此我們下面來重現當年的推理過程。

假設N是所求的數，即，N的立方及4次方總計有10個數字，恰好從O～9各有1個。

首先，由于9的4次方小于10的4次方（即10000），故它只有4位數字。因此，N必然大于9。這就是說，答案至少是1個2位數。

其次，由于N至少是2位數，所以N的4次方至少比N的立方多l位數字。因此，N的立方最多只能是1個4位數，而N的4次方則至少是1個6位數。

第三，11的立方等于1331，乘以8即超過10000。也就是說，22的立方是1個5位數。因而由上述第2條可知，N小于22。

第四，17的平方等于289，它小于300。因此289的平方，即17的4次方，將是1個小于300的平方（即90000）的數。也就是說，17的4次方充其量是一個5位數。因此據第2條，我們知道N大于17。

第五，20的立方與4次方的個位數都是0，數字重復出現，因此它不可能是問題的答案。同理，我們可以排除21。因此，N必然等于18或19，二者必居其一。

最后，19的平方等于361，它小于400。因此361的平方，即19的4次方，小于160000。由此可知，19的4次方是1個首位數字為l的6位數。由于361平方的個數位顯然是l，所以19的4次方出現重復數字，它同樣不可能是問題的答案。

綜合第三、第四條，我們知道N只能是18、19、20和21這4個數中的一個。而最后2條告訴我們，19、20、21也都不可能是問題的答案。因此答案只能是——18。

只需要記得20以內自然數的平方，通過推理及簡單的心算就可以獲得上述問題的答案，此可見分析推理的威力及重要性。好了，我們不多啰嗦——現在來看第2個問題。

問題二：一個4位數2ab2被不小心寫成了2ab2，結果卻恰好與原來的數字相等，請問這個數字是多少？

我們同樣用推理的方法來解決這個問題。首先，b2小于10的平方，即小于100。但是它與2a的乘積等于2ab2，是一個大于2000的數值，因此，2a必須大干20。這樣我們得到第一個結論。

a≥5

（1）

其次，29=512。如果a=9，則2ab2大于2900。而2900除以512大于50，所以b2大干50，故有：

b≥8

（2）

現在，我們考慮b=8的可能性。如果b=8，則：

2ab2=2a82=2a+6

據已知條件，這個數的個位數等于2。容易證明，對自然數n，2n的個位數隨n的增加形成2、4、8、6的循環，只有當n=4k+l時的個位才等于2。因此，據結果（1），目前的情況下必然有：

a=7。

然而我們知道，1K的準確數值等于1024，它是2的10次方。也就是說，a=7且b=8時，2ab2等于213。雖然這個數的個位數等于2，但它等于8K，數值上遠遠超過小于3000的2ab2。這就是說，b=8是不可能的。

于是，據結果（2），我們得到如下的第3個結果。

b=9，并且2a×92=81x2a=2a92

（3）

根據上述結果，81×2a的個位數等于2，因而2a的個位數也等于2。如上所述，此時有a=4k+l。據結果（1），我們有a=5或a=9。

我們前面提到，29=512，所以它與81的乘積大于4000，大大超過2ab2的最大可能值。因此，我們得到：a=5，即本問題的答案是：

a=5，b=9

2592=25×81=2592