本想情理之中，卻是意料之外

蘇曉輝

摘 要： 《2011版數學課程標準》要求：了解并證明圓內接四邊形的對角互補.這是新課標的新增內容，在剛剛過去的2015年南京市中考試卷上，我們看到了這一圓周角定理推論的考察.作者今年仍然從事畢業班教學工作，在教學這一定理時較去年有了更深的體會.

關鍵詞： 圓內接四邊形 圓周角 轉化 學生已有知識經驗

一、課前預設

筆者在備課時，先從特殊情況出發，已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，當BD是直徑時，你能發現∠A與∠C、∠ABC與∠ADC有怎樣的數量關系？為什么？

每個學生先獨立思考，然后請同學展示交流.

學生很容易發現：∠A=∠C=90°，再根據四邊形內角和等于180°，得到∠ABC+∠ADC=360°.

設計思路：讓學生自己思考，鞏固了前面所學的圓周角相關知識，同時也告訴學生是用圓周角的知識解決問題，向學生滲透化歸的數學思想.

再推廣到一般情況，已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，當BD不是直徑時，你上面發現的∠A與∠C、∠ABC與∠ADC的數量關系是否依然成立？為什么？請同學們驗證自己的猜想.

學生先獨立思考，然后小組討論交流，最后全班交流展示.

第一步：可以先量一量、想一想，提出猜想：對角互補.

第二步：能否轉化成上面的特殊情況解決.

設計思路：將第2種情況轉化為第1種情況，體現了從特殊到一般的轉化的數學思想.

最后請你歸納總結上面的發現，你能否將結論表述出來？

讓學生自己說圓的內接四邊形的對角互補.

呈現三種語言.

設計思路：培養學生的歸納總結能力.

但是在實際教學過程中，第一環節進行得非常順利，但是在第二環節上卻出乎意料.

二、課堂生成

每個學生先獨立思考，然后小組討論，最后請同學們展示交流.

學生1：連接OA、OB、OC、OD，因為∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，又因為∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°，所以∠1+∠4+∠5+∠8=360°÷2=180°，即∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°.

此種證法將四邊形分割成四個等腰三角形，利用角的相等關系和四邊形內角和證明.

學生2：連接AC、BD，因為∠1=∠6，∠2=∠5，∠3=∠8，∠4=∠7，又因為∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°，所以∠1+∠4+∠5+∠8=360°÷2=180°，即∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°.

此種證法利用同弧所對圓周角相等得出角的相等關系.

學生3：因為∠A是劣弧BD所對的圓周角，∠C是優弧BAD所對的圓周角，兩段弧合起來是一個整圓，度數是360°.所以∠A和∠C的度數和應該是弧的度數的一半，即∠A+∠C=360°÷2=180°，∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°.

此種證法利用圓周角的度數與它所對的弧的度數關系進行證明.

隨后，班上沒有學生想出教師預設的證法.我只好進行了補充，將一般情況轉化為特殊情況：延長DO，交⊙O于點E，連接AE和CE.

三、課后反思

課后，筆者對本節課的課堂預設和生成進行了整理和反思，又發現了一些新的東西.

1.簡化證法

學生2的證明方法也可進一步簡化：因為∠1+∠2+∠7+∠8=180°，而∠2=∠5，∠4=∠7，所以∠1+∠4+∠5+∠8=180°.

此種證法將對角互補轉化為三角形的內角和.

2.分類討論

在證明圓內接四邊形對角互補時，教材、教師預設和課堂生成上是有瑕疵的.在一般情況下，圓內接四邊形在圓內的位置應該分為三種情況：圓心在四邊形內部、圓心在四邊形一邊上、圓心在四邊形外部.而前面我們只考慮第一種情況，而后兩種情況這四種證法是否同樣適用？帶著這個疑惑，我進行了思考.

通過研究發現，圓心在四邊形一邊上時，這四種證法都可行，并且比第一種情況的證明過程更簡單.但是圓心在四邊形外部時，有些復雜.我列出了四種證法的圖形.

后三種圖形的證法與前面所講述的是一樣的，但是第一種證法與前有點不太一樣.

連接OA、OB、OC、OD，因為∠1=∠5，∠2=∠4+∠5，∠3=∠6，∠7=∠8+∠1，又因為∠2+∠3+∠4+∠6+∠7+∠8=360°，所以∠4+∠5+∠6+∠4+∠6+∠7+∠7-∠1=360°，所以∠4+∠1+∠6+∠4+∠6+∠7+∠7-∠1=360°，所以2∠4+2∠6+2∠7=360°，所以∠4+∠6+∠7=360°即∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°.

四、感悟升華

布魯姆曾說：“人們無法預料教學所產生的成果的全部范圍，沒有預料不到的成果，教學就不成為一種藝術.”

在本節課的證明圓內接四邊形對角互補這一教學環節中，教師本想通過特殊情況過渡到一般情況，希望學生通過作輔助線的方法將一般情況轉化為特殊情況處理，把復雜圖形轉化為簡單圖形，但是本想情理之中，卻是意料之外.學生并沒有這樣想，同樣是從已有的知識經驗出發，利用四邊形的內角和、等腰三角形、圓周角等性質證明這個定理，不但活躍了課堂氣氛，還啟迪了老師的思路.這種教學效果肯定要比多講幾個例題要好很多.

除此之外，我也在想：學生為什么會先想到這三種證明方法呢？這可能與他們前面學習、練習有很大的關系.四邊形的內角和、等腰三角形的相關性質是學生常用的解題依據，而圓周角定理、連接半徑這種輔助線剛剛學過，最近一直在進行這方面的練習，這些學生都非常熟悉，所以在思考一個新的問題時，首先想到這些方法，也是順其自然的.而教材上出示的證明方法（也就是教師的預設）是作出直徑，然后轉化為特殊情況.這種方法在前一節課（圓周角定理的推論）中出現過，但是對于剛剛接觸圓的學生來講，這種方法還是比較陌生的，所以沒有想到.

數學教師在教學中知道要依據學情開展教學行為.但是學情并不簡單地認為是學生已有的知識經驗，還要考慮你所教的學生在已有的知識經驗中哪些是非常熟悉的，哪些是不熟悉的、陌生的，而這正是學生思考新問題的起點，只有把握好這一點，活用教材，做出適合學情的教學設計，才能激發學生的求知欲望，強化學生的學習效果.

參考文獻：

[1]邱云.掌好課堂引導之舵.中學數學教學參考，2015年第5期（中旬）.