活用數形結合 感悟數學思想

鐘圓照

[摘 要]數形結合是數學思想、數學研究、數學教與學的基本方式，是促進學生抽象思維與形象思維互助互補的有效途徑。教學中教師要把握好數形結合的思想方法，滲透到課堂教學中，讓學生養成良好的學習習慣和提升學生的數學思維品質。

[關鍵詞]數形結合 滲透 運用 數學素養

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）05-058

數與形是數學研究的兩個基本對象，“數”構成了數學的抽象化符號語言，“形”構成了數學的直觀化圖形語言。從形的角度刻畫數，發揮直觀對抽象的支柱作用，借助“形”生動直觀地認識“數”，從數的獨特組合結構，在形成表象的基礎上進行聯想和想象，從而精確規范地闡明“形”的屬性。數形結合時，其實質就是將數量的精確刻畫與空間形式的直觀形象和諧統一，將抽象思維和形象思維結合起來，實現抽象概念與具體形象、表象的聯系和轉化，化難為易，抽象的問題具體化，從而使問題得以巧妙地解決。那么，教師要怎樣才能把握數形結合思想方法的實質，充分滲透到課堂教學中并且讓學生養成用數形結合思想解題的習慣呢？

一、適時滲透，充分體驗

一般說來，數形結合包括兩種情況：一是“以形助數”，如畫數軸、線段圖分析等，它有助于學生理清數量關系、增強數感，達到降低問題難度的目的；二是“以數解形”，如特殊值法、向量法等，它有助于學生突破具體圖形的束縛，往往能讓學生迅速地找到問題的答案。當然，很多數學問題需要“形”與“數”的不斷轉換、有機結合，從而讓學生把握問題本質，深入地理解問題。

1.數學概念的建立借助“形”的直觀

數軸將抽象的“數”形象直觀化，學生運用數軸能快速有效地理解數的順序、大小、數列規律等。“加法”就是在數軸上找到一個加數的位置，再向右平移另一個加數的單位長度；“減法”就是在數軸上先找到被減數的位置，然后再向左平移若干個單位；“乘法”就是在數軸上幾個幾個地向右數，或者把一條線段拉長幾倍；“除法”就是在數軸上先找到“被除數”，然后向左幾個幾個地數，如果恰好數到“0”，則就是“除盡”，數了幾次，商就是幾，當不能恰好數到“0”時，就產生了余數。

2.數學性質的探索依賴“形”的操作

數軸是數形結合最常用的工具，學生根據數軸上的點與數的一一對應關系，能更加深入地理解數的性質。例如，在教學“小數的性質”時，我要求學生分別用一位小數和兩位小數表示數軸上的同一個點，讓他們借助數軸能更直觀地理解小數的性質，進而啟發學生從“數”和“形”這兩個角度加深對小數性質的理解，更加透徹地理解數學知識。

3.數學規則的形成需要“形”的支撐

在教學相關的計算題時，運用“數形結合”思想，學生能深入地感悟和理解計算過程。

例如，在教學“分數乘分數”時，我先讓學生將一張正方形紙的一半涂上顏色，然后在涂色部分的一半畫上斜線，然后提問：“涂色部分表示一張紙的，畫斜線的部分占的幾分之幾？你能看圖并列算式寫出結果嗎？”學生通過觀察圖形，順利地寫出了算式。為了讓學生更好地理解分數乘分數的性質，于是我提供算式，讓學生根據提供的乘法算式在正方形圖中用斜線表示出計算結果，并寫出答案。這時，我再次提問：“結合圖形說說算式是怎樣計算得出結果的？你發現積的分子、分母與兩個因數的分子、分母有什么聯系？”學生由特殊到常規，得出結論，并且他們能通過自主舉例，畫圖驗證其他的乘法算式也能適用得出的結論。通過學習，學生很快就掌握了分數乘以分數的計算法則，大大降低了計算題出錯的概率。

教師運用“數形結合”的教學方法，使學生對計算方法有直觀的體驗，能深入理解計算原理，有效地突破教學難點。

4.解題思路的獲得來自“形”的幫助

借助圖形解題的最大優勢是將抽象問題形象化，將數字信息反映在圖形上，直觀地表現數量關系，從而獲得解題思路。

例如，“求+++的和”這樣一道復雜的分數連加計算題。學生通常是用“通分”進行計算，伴隨著加數的增加，學生會因為“通分比較復雜”，而減少對數學學習的興趣。因此，我啟發學生把算式轉化成圖形，在一個正方形中把所有加數所代表的區域都涂上顏色，而全部加數的和就是用整個正方形的面積減去空白部分的面積（即1-）。這樣簡便而直觀的教學方法，凸顯了數學的本質特征，提高了學生的思維能力。

教師在教學過程中，要適時的滲透“數形結合”的思想，讓學生體會到使用“數形結合”的方法解題更簡便直觀，有利于學生今后的學習和發展學生的思維。

二、針對訓練，靈活運用

當學生學會一種數學方法時，需要不斷地運用，積累經驗，體會其中的數學思想，從而靈活運用。因此，教師在教學中，在滲透數學思想時，應該讓學生正確地運用其去解題。

例如，在解決“求1+3+5+7+9的和”的問題時，我讓學生聯系方格圖思考，將算式轉化成數正方形方格數，從而得到：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52。此外，學生還發現：當加數的個數較多時，畫圖的分析方法不夠簡便，圖形只是提供了一個思考的方向，想要解決此類問題，還需要再回到算式中。學生經思考后發現規律：有幾個加數，結果就是幾的平方。從而學生在真正意義上解決了問題。

數學思想蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法的概括。教學中，教師要進行系統、反復、有針對性的有效練習，在數學問題的探究發現過程中，精心挖掘數學的思想方法，使學生真正理解并掌握后才能做到靈活運用。

三、加強反思，積累經驗

學習不僅能幫助學生解決問題，還能促使學生將已有的知識重新整合，新舊知識融會貫通，形成更為合理的認知結構。在解題之后，一方面要通過解題和反思活動，總結歸納出解題方法，并提煉上升到思想高度；另一方面在解題活動中，應充分發揮數學思想對解題的定向、聯想和轉化作用，突出它對解題的指導作用。

例如，在教學“畫圖解決問題”之后，我向學生提問：“回顧解決問題的過程，你有什么體會？”學生認識到畫線段圖能使數量關系直觀、清楚，容易找到解決問題的方法。接著我進一步追問道：“在以前的學習中，我們曾經運用畫圖的策略解決過哪些問題？”學生的思維大門頓時被打開，“比如畫一畫、圈一圈認識了倍數”“還有解決問題時，經常會畫線段圖或示意圖表示題中的條件和問題”“再比如探索周期規律時，畫圖表示排列順序，找出規律”。學生深刻體會到“數形結合”就在平時的學習中，它對解決問題有著重要的作用。

學生通過反思，積累了學習經驗，加深了對數學知識的理解。教師引導學生進一步的思考、探究，洞悉數與形間的內在聯系，完善學生的知識體系，提升他們的知識遷移能力。

數形結合是數學思考、數學研究、數學應用、數學教與學的基本方式，是促進抽象思維與形象思維互助互補、和諧發展的有效途徑。教師要充分挖掘教材中的內容，根據知識本身的特點以及學生的心智發展水平，確定具體而又恰當的滲透方法和策略，將數形結合的方法滲透到教學中，提高他們學習數學的興趣，培養他們解決問題的能力和敏銳的洞察力，養成良好的學習習慣和提升數學思維品質。

（責編 莫秋鴻）