例析高中學生運用數學知識解決實際問題的能力培養

◆劉增花

(廣東省潮州市南春中學)

例析高中學生運用數學知識解決實際問題的能力培養

◆劉增花

(廣東省潮州市南春中學)

數學是一門工具性的學科，因此在高中數學的教學與復習中，我們的教師應該有意識地培養學生們運用數學知識解決實際問題的能力。為了更好的實施教學達成這一教學目標，根據教學實踐和經驗，提出了以下幾點對策：提取信息，拓展應用；借助實際，激發興趣；設置新境，鼓勵創新；注重綜合，引導探究。

高中數學 實際問題 學生能力

運用數學知識解決實際問題，通過實際問題加深對數學的理解是數學教學中的一個重要方面。高中學生遇到實際數學問題或是束手無策或是一知半解，靈活應用數學知識解決實際問題的能力普遍偏低。這大致是因為心理層面的不重視或過度緊張，知識層面的生活知識缺失或數學概念掌握不牢固造成的。應全面指導學生用所學的數學知識解決實際問題，培養提高學生運用數學知識解決實際問題的能力。

一、提取信息，拓展應用

我們都知道，在實際教學中學習數學的目的是為了應用數學。因此，學生需要學會從文字、表格和圖形中提取數學信息，進行加工、整理并轉化成數學模型進而解決問題。不管是在平時的教學中還是在考試中，很多題目對知識的考查不是原來那么單純了，而是將部分知識放在一個實際情景中進行考查，引導學生提高對數學信息的提取與拓展應用處理能力，這里面滲透的是數學的應用意識。我們看幾個比較典型的例題和高考試題：

例1．(2014·新課標全國卷Ⅱ)：某地區空氣質量監測資料表明，一天的空氣質量為優良的概率是0.75，連續兩天為優良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優良，則隨后一天的空氣質量為優良的概率是( )。

A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45

例2.某地區2007年至2013年農村居民家庭純收入y(單位：千元)的數據如下表：

(Ⅰ)求y關于t的線性回歸方程；

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入。

案例分析：

例1、2解決起來都較為簡單，但往往有些學生卻因為害怕甚至抗拒生活題目而未能很好解決問題。這些問題都將實際生活中的問題抽象成了真實的數學問題，它們建立在統計學的概念和原理上，學生在平時的學習中只要掌握了基本的知識，把握對數學概念本質的理解，學會提取其中的數學信息，就能很好應對這種看似復雜的題目。

二、借助實際，激發興趣

生活應用型的題目是高中數學中的重要題型與常見題型，它們與實際相聯系，我們教師可以將此作為教學的切入點，以發生在學生身邊的事件、生活中經常出現的物品入例，從而激發學生學習的興趣，培育學生積極的數學情感，讓學生們明白數學的最終歸宿和價值，提高學習的效率和教學的效果。

例3.如圖，某公司要在A、B兩地連線上的定點C建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC長35米，CB長80米，設A、B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為α和β。

(1)設計中CD是鉛垂方向，若要求α≥2β，問CD的長至多為多少(結果精確到0.01米)？

(2)施工完成后，CD與鉛垂方向有α≥2β偏差，現在實測得α=38.12°，β=18.45°，求CD的長(結果精確到0.01米)？

案例分析：

本題看著比較容易，但是做得完美并不容易，它體現的是一定數學能力的要求。三角問題和實際問題的結合逐漸走向高考的舞臺。在考查時，它將生活實際為依托，考查的本質卻是不變的。所以在教學過程中，不能閉關自守，而是要引導學生關注生活，擴大知識面，從而提高他們的數學綜合素質以及應用能力。

三、設置新境，鼓勵創新

新的課改理念中最突出的一條就是培養學生的學習能力，在平時的教學中我們的教師對創新性的問題應更多關注，并引導學生在這類題目上多下功夫，只有這樣才能做到熟能生巧、胸有成竹。我們看一個具體的實例：

例4.在平面直角坐標系xoy中，對于直線l：ax+by+c=0和點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，記η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c).若η<0，則稱點P1，P2被直線l分隔。若曲線C與直線l沒有公共點，且曲線C上存在點P1，P2被直線l分隔，則稱直線l為曲線C的一條分隔線。

(1)求證：點A(1，2)，B(-1，0)被直線x+y-1=0分隔；

(2)若直線y=kx是曲線x2-4y2=1的分隔線，求實數k的取值范圍；

(3)動點M到點Q(0，2)的距離與到y軸的距離之積為1，設點M的軌跡為E，求證：通過原點的直線中，有且僅有一條直線是E的分割線。

案例分析：在本題中它給了一個新的定義，這個形式看似很新，但本質還是考察解析幾何，只有學生抓住這一點，才能利用新概念解決相應的問題。在這整個做題的過程中實際上學生需要進行：閱讀——理解——分析——應用的過程，這是一個比較全面的學習過程。尤其是第三小題是存在性和唯一性證明問題，它對思維的嚴謹性有比較高的要求，是個難點。因此，在平時的教學中我們不能忽視新的題型，但一定要打好基礎，這樣才能以不變應萬變。

四、注重綜合，引導探究

培養學生的理性思維是數學教學的一項重要任務。結合數學學科的特點，一些試題的解答不僅僅依賴于記憶性的知識，更需要學生深入的分析。這些試題鼓勵學生對一些概念的實質進行必要的分析，并把一些直觀的對象以理性的方式表達出來。所以在平時的教學中我們要鼓勵學生們理解數學概念的本質及其關聯，養成理性的思維習慣，提高分析問題解決問題的能力。

(1)若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范圍；

(3)若a1，a2，…，a100成等差數列，求數列a1，a2，…，a100的公差的取值范圍。

案例分析：

這是一道數列綜合問題，它仍然立足等差與等比兩個最基本的數列，強調將知識點融會貫通的綜合能力，它表述非常直接，直接說明是什么數列，引進新概念后，對指定數列的函數性質做了全面的考查和深刻的探究，綜合運用到不等式的求解、函數的最值、恒成立等問題的解決方法。因此，在平時的復習教學中，我們要逐步養成學生們研究問題的習慣，通過把經典問題引申、推廣等，進行研究性訓練，并使學生學會從反面去思考問題，把問題分析透徹，解決徹底，真正提高思維水平。

總之，在數學教學和復習中，我們的教師要注重方法的灌輸和能力的培養。不僅要讓學生掌握課本中的每個知識點，還要引導學生在學習時要做到“入腦，走腦”，引導他們多分析，多設疑，只有對于每章節的知識學扎實了，才能應對數學的學習。

[1]申磊.淺談高中數學教學中如何培養學生分析問題和解決問題的能力[J]，學園，2012，(04).

[2]柳笛.高中數學教師學科知識的案例的研究[D].華東師范大學，2011.

[3]韋崇裕.高中數學教學中培養學生問題意識和提問能力的研究——課堂教學中學生發現問題與提出問題的能力培養與訓練[J].新課程，2014，(05).