基本圖形在面積平分問題中的應用

梁艷云

【摘要】 本文通過對基本圖形三角形、四邊形的作圖，歸納方法，提煉模型，并應用基本模型解決梯形、任意四邊形等多邊形的面積評分問題.最后對基本圖形的教學進行反思.

【關鍵詞】 基本圖形；提煉模型；應用模型

面積平分問題是中學數學教學的一個難點問題，在近幾年的中考試題中出現的頻率也比較高. 它不僅考查學生的基本作圖，更重要的是考查學生綜合運用知識的能力，對學生靈活運用知識解決問題的要求很高，所以很多學生面對此類問題很難下筆. 如何讓學生有效的掌握多邊形面積平分問題的解題策略，是值得我們研究探討的一個問題，下面就這類問題筆者談一談自己的一些做法，希望能給同行們一些啟發、借鑒和參考.

一、提煉基本模型

問題一：能否作一條直線將△ABC分成面積相等的兩部分？

已知：△ABC.

結論：可作一條直線平分△ABC的面積.

方法：作△ABC一條中線所在的直線.

基本模型：平分△ABC面積的直線是三角形中線所在的直線.

二、應用基本模型

1. 基本模型在梯形中的應用

問題二：如圖1，如何作一條直線將梯形ABCD分成面積相等的兩部分？

（1）將梯形轉化為三角形

方法一：如圖2所示，取DC中點M，連接AM并延長交BC的延長線于點N，則S△ADM = S△CMN，因此S梯形ABCD = S△ABN，根據三角形面積的平分方法，即可平分此梯形.

方法二：如圖3所示，取AB、CD的中點M、N及AD上任取一點E，連接EM、EN并延長交CB延長線、BC延長線于點G、H，則S△AEM = S△BGM，S△DEN = S△CHN，因此S梯形ABCD = S△EGH，也根據三角形面積的平分方法，即可平分此梯形.

（2）將梯形轉化為平行四邊形

方法一：如圖4所示，可將梯形轉化為矩形，分別過AB、DC的中點M，N作BC的垂線，交BC于點F、G，交DA和AD的延長線于點E，H，則S△AEM = S△BFM，S△DHN = S△CGN，因此S梯形ABCD = S矩形EFGH，根據平行四邊形面積的平分方法，即可平分此梯形.

方法二：如圖5所示，可直接將梯形轉化為平行四邊形，方法更簡單.過DC的中點M，作AB的平行線交BC于點F，交AD的延長線于點E，則S△DEM = S△CFM，因此S梯形ABCD = S？荀 ABFE，根據平行四邊形面積的平分方法，也可平分此梯形.

（3）平分梯形面積的通法

平分梯形面積的方法很多，無論哪種方法所作的直線都滿足下列兩個條件：

① 經過梯形中位線中點；② 與梯形的兩底相交.

理由如下，如圖6所示，

3. 基本模型在任意五邊形中的應用

問題三： 如圖7，如何作一條直線將五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分.

解法 將任意五邊形轉化為三角形，如圖8所示，連接AC，AD，過點B，E分別作AC，AD的平行線，交直線CD于點G，H，連接AG和AH分別交BC、DE于點M，N，即形成了兩對蝴蝶型，則有S△ABM = S△CGM，S△AEN = S△DHN， 將五邊形ABCDE的面積轉化為面積相等的三角形AGH，因此S五邊形ABCDE = S△AGH，根據三角形面積的平分方法，即可平分此五邊形.

三、反思基本圖形教學

1. 本文蘊含的基本圖形

在多邊形面積平分問題中，可以歸納出以上四種基本圖形：三角形、平行四邊形、梯形、蝴蝶形，具體分割方法如上圖所述. 平分梯形可以直接轉化為三角形或平行四邊形來解決，平分任意四邊形或任意五邊形可以利用蝴蝶形間接轉化為三角形來解決，不論是哪種多邊形面積平分問題都可以轉化為三角形面積平分問題. 所以教師在教學中要有意識的引導學生挖掘基本圖形，在解題中靈活運用基本圖形，這樣便可以快捷的找到解題思路，縮短思維距離，提高解題速度.

2. 將基本圖形功能最大化

教無定法，不同的問題有不同的教學方法，相同的問題不同的老師教法也不一定相同，當然教學效果也有區別.如何使問題教學功能最大化，從多年的教學實踐中總結出對問題的處理可分為三個層次；

第一層次：教法單一，就題論題 . 學生能聽懂但不一定會做，這是最低層次. 常聽一些老師抱怨：反復多次講過的問題，還是有很多的學生仍然不會做，就認為是學生不努力、腦子笨. 我認為這樣說對學生是不公平的，因為就提論題的教學方式本身就有很大的弊端，教給學生的知識是孤立的、零散的，學生難以溝通知識間的聯系，一旦問題變化就束手無策，即使老師講過的問題也容易忘記.

第二層次：教法多樣，變式拓展. 對問題能進行一題多解，一題多變，引導學生對問題多角度、多層次、多方面思考，這是第二層次，這樣的教學方式能培養學生的發散思維，能靈活的運用所學知識思考問題解決問題.

第三層次：歸納總結，上升模式. 通過對問題多解和多變，能進行總結歸納其解題數學思想方法，上升到一種解題模式，這是教學的最高境界.這也是一線教師所追求的最高目標.