兩位數的乘法速算

王起山

速算具有一定的規律性，尤其是兩位數的乘法速算，在我們的生活中應用的比較廣泛.如單價2.8元，重量3.2斤，結果是多少錢呢？如果我們掌握了這個速算規律，便能夠提高我們的計算速度，以及它的準確性.下面本文介紹兩位數乘法的速算規律.

第一種：具有一定規律的乘法速算

1. 十位數字相同，個位數字之和為10的速算，簡稱十位同，個和10的速算.

你能很快地得出下列各式的結果嗎？

① 11 × 19；② 22 × 28；③ 31 × 39；④ 42 × 48.

從上面各式不難看出它們都具備：

十位數字相同，個位數字之和為10的這一特點.對照結果和兩個因數我們不難發現其中的規律：十位上的數字乘以比它大1的數，再擴大100倍后加上個位數字的積，其和就是最后的結果.也可以說：首位數字乘以比它大1的數結果做積的前兩位，個位數字之積（不足兩位的用0頂十位）做積的后兩位.如11 × 19的計算過程中有1 × （1 + 1） = 2，1 × 9 = 9其結果都是一位數，所以寫成02，09的形勢.即11×19的前兩位是02，后兩位是09，所以結果是0209，即209.如何解釋這一規律呢？我們不仿設一個因數為10x + a另一個因數為10x + b其中a + b = 10那么（10x + a）（10x + b） = 100x2 + 10x（a + b） + ab = 100x（x + 1） + ab你能用語言表述這一結論嗎？這個結果與我們總結的規律相吻合了.

2. 個位數字相同，十位數字之和為10的速算.簡稱個位同，十和10的速算.同樣計算下列各式① 11 × 91②22 × 82③16 × 96 ④37 × 77同樣對照結果和兩個因數，我們不難發現其中的規律：說明（609計做0609）十位數字相乘，再加上個位數字，其和擴大100倍，加上個位數字的平方，就是結果了.這一規律可以用多項式乘法加以解釋：設一個數為10a + x 另一個數為10b + x 其中a + b = 10那么（10a + x）（10b + x） = 100ab + 10x（a + b） + x2 = 100ab + 100x + x = 100（ab + x） + x2這一結果與上文所總結的規律相吻合，還可以總結為：十位數字之積加上個位數字其和做積的前兩位，個位數字的平方做積的后兩位，不足兩位的用0頂位，如22 = 04這一形式.

上述兩類題的運算還可以用平方差公式進行速算如①19 ×11=（15+ 4）（15- 4）=152 - 42 ②47 × 67 = （57 + 10）（ 57 -10） = 572 - 102

從這一計算過程中不難看出：11 × 19 = 152 - 42，67 × 47 = 572 - 102而4與15， 10與57都是兩個因數的和與差的■，只要掌握這一點，就不難寫出結果中平方差中的兩個數.然而新的問題又出現了，兩位數的平方怎樣計算快呢？252 = 25 × 25與上述的規律相吻合，能很快得出結果，可是572就很難算出結果了，因此下面介紹一般性的兩位數的乘法速算，包含兩位數平方的速算

第二種：一般性的兩位數的乘法速算

1. 乘方的速算

① 242 = （24 + 4） × 2 × 10 + 42 = 28 × 20 + 16 = 576.

② 462 = （46 + 6 ） × 4 × 10 + 62 = 52 × 40 + 36 = 2116.

上述這種算法你是否看懂了，它與完全平方公式相比較哪種簡單？實際上這種運算是完全平方公式在實際運算中的一種變形.本文認為這種算法使得運算簡化，降低難度，具有固定的格式化，其規律用語言表述為：兩位數的平方結果等于這個數與個位數之和乘以十位數字的10倍再加上個位數字的平方.

2. 一般的乘法速算.

① 四個數字有三個相同的，如23 × 33.

② 四個數字有兩個相同的如22 × 33.

③ 四個數字有一個相同的，如21 × 33.

④ 四個數字沒有相同的如12 × 45.

以上四種情況不一一敘述其規律了，這里做統一的規律進行總結.如23 × 45，兩位數乘以兩位數，十位數字相乘后擴大100倍即2 × 4 × 100加上交叉相乘之和的10倍即800 + （2 × 5 + 3 × 4） × 10再加上個位數字的積800 + 220 + 3 × 5其結果為1035.這一規律用多項式乘法來解釋就更好理解了.設一個數為10a + b，另一個數為10c + d即（10a + b，）（ 10c + d） = 100ac + 10（ad + bc） + bd.解釋：100ac表示十位數字積的100倍，10（ad + bc）表示交叉相乘和的十倍， bd表示個位數字之積這與上文所總結的規律是相輔相成的.

所有的兩位數乘法都可以應用這一規律，不過特殊的更具有自己的簡單的規律，結合上述規律，多多的練習便可以掌握兩位數乘法的計算，大大地提高計算速度.