有限群的Φ-可補性

劉會彩，謝鳳艷

（1.許昌電氣職業學院公共教學部，河南　許昌461000；2.安陽師范學院　人文管理學院，河南　安陽455002）

有限群的Φ-可補性

劉會彩1，謝鳳艷2

（1.許昌電氣職業學院公共教學部，河南許昌461000；2.安陽師范學院人文管理學院，河南安陽455002）

研究了有限群的c-正規和Φ-可補性質，并利用Sylow子群的極大子群的c-正規和Φ-可補性得到超可解群的兩個充分條件。

c-正規子群；Φ-可補子群；超可解群；極大子群

在群論研究領域，群的結構備受關注。利用子群的性質研究群的結構是研究有限群的主要手段。WANG Yanming［1］利用群的極大子群的c-正規性研究了群的可解性。謝鳳艷等［2］利用準數子群的性質研究了群的冪零性和超可解性。張英杰等［3］推廣了c-正規概念，并得到可解群的充分條件。於遒［4］引入Φ-可補的概念，并給出了Φ-可補的一些性質。王燕等［5］利用Sylow子群的極大、極小子群的c-正規性和Φ-可補性研究了有限群的p-冪零性。在此基礎上，筆者利用Sylow子群的極大c-正規性和Φ-可補性研究了有限群的超可解性，得到了超可解群的兩個充分條件。

1　預備知識

本文中的多數符號和術語來源于群論的教課書，其余的符號和術語見文獻［6-7］，所用到的群都是有限群。

定義1［5］：設G是一個群，H是G的子群，若G中有正規子群T，使得G=HT，且有H∩T=HG或者H∩T≤HG，其中HG是包含在H中G的最大正規子群，則稱H在G中c-正規。

定義2［5］：設G是一個群，H是G的子群，若G中存在正規子群T，使得G=HT，且H∩T=Φ(H)或者H∩T≤Φ(H)，其中Φ(H)為H的Frattini子群，則稱H在G中Φ-可補。

引理1［5］：對于群G，以下結論是成立的。

1）若H≤M≤G，且H在G中c-正規（Φ-可補），則H在群M中c-正規（Φ-可補）。

2）若N?G，N≤H，且H在G中c-正規（Φ-可補），則H/N在G/N中c-正規（Φ-可補）。

3）若E?G，H≤G，(|H|,|E|)=1，且H在G中c-正規（Φ-可補），則HE/E在G/E中c-正規（Φ-可補）。

引理2［8］：如果G有循環正規子群E，使得G/E為超可解群，則G為超可解群。

引理3［9］：設P是G的Sylow子群，且N?G，若P∩N≤Φ(P)，則N為p-冪零群。

引理4：設p是G的一個最小素因子，P是G的Sylow p-子群，若P的極大子群在G中Φ-可補，則G為可解群。

證明：假設結論不成立，并假設G是極小反例，N 是G的極小正規子群。

如果NP=G，則G/N為p-群。如果R也是G的一個極小正規子群，且有R≠N，則G/R為p-群，且R∩N=1。因為G?G/(R∩N)同構于G/ R× G/ N的一個子群，所以G為可解群，這與假設矛盾，故N是G的唯一極小正規子群。

設M/N是G/N的極大子群，且|G/ N: M/N| =p ，則G=M P，又設H=M∩P，則|P:H|= |M∩P: P|=|MP: M|=|G: M|=|G/ N: M/N|=p ，故H是P的極大子群，因而G中有正規子群T，使得G=HT，且H∩T=Φ(H)，因N是G的唯一極小正規子群，故有N≤T，又因為N≤M，且H正規于P，從而有P∩N≤P∩M∩T=H∩T=Φ(H)≤Φ(P)。由引理3可知，N為p-冪零群，故N為可解群，從而G也為可解群。

如果NP≠G，由引理1可知，P的極大子群在NP 中Φ-可補。由于G是極小反例，故NP為可解群，因而N為初等交換q-群。

若q≠p，由引理1可知，G/N滿足定理的條件，因而G/N 為可解群。

若q=p，可設H/N是P/ N的極大子群，則有N≠P，且H是P的極大子群。由引理1可得，H/N 在G/N中Φ-可補，故G/N 滿足引理4的條件。因為G是極小反例，所以G/N 為可解群。又因為N為交換群，所以G必為可解群。

2　主要結論

定理1：若群G的任意Sylow子群的極大子群在G中c-正規或者Φ-可補，則G是超可解群。

證明：假設結論不成立，并令G是極小反例，現在通過以下步驟完成證明過程。

1）若N是G的極小正規子群，則G/N 為超可解群。

設p是G/N的任意一個素因子，且有K/N∈Sylp(G/N)，則存在G的一個Sylow p-子群P，使得K=PN。

設M/N是K/N的極大子群，且H=M∩P ，則有M=M∩PN=(M∩P) N=HN，MP=MPN= NP，且H∩N=M∩P∩N=P∩N是N的Sylow p-子群，因而|P: H|=|M∩P: P|=|MP: M|=|NP: M | =p，故H是P的極大子群，由已知條件可知，H 在G中c-正規或者Φ-可補，即G中有正規子群T，使得G=HT，H∩T=HG或者H∩T=Φ(H)，且G/N=(HN/N)(TN/N )。因為G=HT，且H是p-群，而|N: T∩N|=|NT: T|為p′?數，所以為P-數，因此有(|N: H∩N|,|N: T∩N|)=1，從而有(H∩N)( T∩N)=N=N∩HT。又由文獻［10］可知HN∩TN=(H∩T) N，因而有(HN/N)∩(TN/N ) =(H∩N) N/N=HGN/N≤(HN/N)(G/ N)，或者有(HN/N)∩(TN/N)=(H∩TN) N/N=Φ(H) N/N ≤Φ(HN/N )。因為(TN/N)?(G/N )，所以有HN/N在G/N 中c-正規或者Φ-可補。由于G是極小反例，故G/N 為超可解群。

2）N是G的唯一極小正規子群，且Φ(G)=1。

如果R是G的一個極小正規子群，且R≠N，則G/ R為超可解群，且R∩N=1。因為G?G/(R∩N)同構于G/R×G/N的一個子群，所以G為超可解群，這與G是極小反例矛盾，故N是G的唯一極小正規子群。若Φ(G)≠1，則N≤Φ(G)，由步驟1）可知G為超可解群，這與假設矛盾，說明Φ(G)=1是成立的。

3）N是不可解群，且G的Sylow子群的極大子群在G中Φ-可補。

如果N是可解群，則N為初等交換p-群，因而存在G的一個極大子群M，使得G=NM，且有N∩M=1。設L∈Sylp(M)，則有P=NL∈Sylp(G)，又設H是包含L的P的極大子群，且有L≤H，則由定理的條件可知，H在G中c-正規或者Φ-可補，即G中有正規子群T，使得G=HT，且H∩T =HG，或者H∩T=Φ(H)。因為N是G的唯一極小正規子群，所以N≤T。若H∩T=Φ(H)，則有H=H∩P=H∩NL=(H∩N) L≤(H∩T) L = Φ(H) L ，因而L=H是P的極大子群。因為P= NL，且N∩L=1，所以|N|=p。因為G/N是超可解群，所以G為超可解群，這與假設矛盾，因而H在G中非Φ-可補，故H∩T=HG≠1。因為N是G的唯一極小正規子群，所以有N≤HG≤H 。又因為P=NL，且L≤H，所以有P=H，這與H是P的極大子群矛盾，因此N是不可解群。又因為N是G的唯一極小正規子群，所以對于任意p-子群H，有HG=1，從而G的任意Sylow子群的極大子群在G中Φ-可補。

4）結論的證明。

設p是G的一個最小素因子，故G的Sylow p-子群P的極大子群在G中Φ-可補。由引理4可得G為可解群，這與N是不可解群矛盾，從而說明G是極小反例的假設不成立，故G是超可解群。

定理2：若群G存在正規子群E，使得G/ E 為超可解群，且E的任意Sylow子群的極大子群在G中c-正規或者Φ-可補，則G是超可解群。

證明：假設結論不成立，并令G是極小反例。設N是G的極小正規子群，仿照定理1中步驟1）和步驟2）的證明過程可知，G/N 為超可解群，N 是G的唯一極小正規子群，且有Φ(G)=1，故G為可解群，因而N為初等交換p-群。設M是G的一個極大子群，則有G=NM和N∩M=1成立。設K∈Sylp(M)，則Gp=NK∈Sylp(G)。設L是GP的極大子群，且K≤L，且令R=K∩E，P=Gp∩E和H=L∩E，則Gp=NL=PL，P=NR，R≤H。因為E?G，所以P∈Sylp(E)，且|P: H|=|P:(L∩E∩Gp)| =|P:(L∩P)|=|PL: L|=|Gp:L|=p ，故H是P的極大子群。由已知條件可知，H在G中c-正規或者Φ-可補，即G中有正規子群T，使得G=H T，H∩T=HG，或者H∩T=Φ(H)。因為N是G的唯一極小正規子群，所以有N≤T。若H∩T=Φ(H)，則有H=H∩P=H∩NR=(H∩N) R≤(H∩T) R = Φ(H) R，故R=H是P的極大子群。因為P=NR，且N∩R=1，所以有|N|=p。因為G/N為超可解群，所以由引理2可知G為超可解群，這與假設矛盾，從而說明H在G中非Φ-可補，故H∩T=HG≠1。又因為N是G的唯一極小正規子群，所以N≤HG≤H，且P=NR，R≤H，因而有P=H，這與H是P的極大子群矛盾，從而說明G是極小反例的假設不成立，故G是超可解群。

推論1：若群G的任意Sylow子群的極大子群在G中c-正規，則G是超可解群。

推論2：若群G的任意Sylow子群的極大子群在G中Φ-可補，則G是超可解群。

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【責任編輯王云鵬】

Φ-Supplemented Properties of Finite Groups

LIU Huicai1，XIE Fengyan2
（1.Department of Public Teaching，Xuchang Electric Vocational College，Xuchang 461000，China；2.Humanistic Management College，Anyang Normal University，Anyang 455002，China）

In this paper，the properties of c-normal subgroups and Φ-supplemented groups were studied.Two sufficient conditions for supersolvable groups were obtained by c-normality and Φ-supplementary of the maximal subgroups of the Sylow subgroups.

c-normal subgroups；Φ-supplemented subgroups；supersolvable groups；maximal subgroups

O152.1

A

2095-7726（2016）03-0004-03

2015-12-23

河南省高等學校重點科研資助項目（15A110048）

劉會彩（1983-），女，河南許昌人，碩士，研究方向：分形幾何與動力系統。