改編高中數學應用問題的探索實踐

付曉明

(北京市通州區永樂店中學，北京 101105)

改編高中數學應用問題的探索實踐

付曉明

(北京市通州區永樂店中學，北京 101105)

新課程改革力求發展學生的數學應用意識，在教學中要讓學生認識到我們學習的數學是有價值的.應用問題承載著讓學生體會數學應用價值的使命，因此教師必須加以重視.本文通過對教材中一道例題的分析，做出思考和實踐，總結出從實際問題抽象出數學知識的必要性和在此過程中的主要問題，得出選擇和編制數學應用問題的原則，并列舉了選擇和自編數學應用問題的教育實踐實例及反思.

數學應用意識 抽象程度 實踐

案例：(人教A版高中《數學必修5》第97～98頁第3.3.2節例題)某工廠用A、B兩種配件生產甲、乙兩種產品，每生產一件甲產品使用4個A配件耗時1 h，每生產一件乙產品使用4個B配件耗時2 h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，該廠所有可能的日生產安排是什么？

課本中給出的解答如下：

設甲、乙兩種產品分別生產x，y件，由已知條件可得二元一次不等式組

(其余部分省略，詳見教科書)

這是為了說明什么是線性規劃問題而舉的一個例子，為了使例子典型，教科書將實際問題做了抽象，但這個抽象做得并不成功.根據題目的敘述很難得出不等式組(1)，主要有兩個原因：(1)題目中并沒有“該工廠只能同時加工一種產品”的敘述，因而“x+2y≤8”這個不等式的得出沒有依據；(2)題目希望x、y是整數，但在實際生產中完全可以一天生產不完第二天接著生產.例如可行解中的(2，2)，即生產甲、乙兩種產品各2件，共用時2+2×2=6小時，余下的2小時只能不工作，這很不符合實際.在教學過程中也有很多學生提出“為什么是小于等于8而不是等于8”這樣的疑問.

其實類似的問題在平時很多應用問題中都存在著，這種問題主要是由從實際問題中抽象不到位造成的.題目編制的好壞直接影響著教師應用問題的教學效果以及學生對數學應用價值的理解程度，不可小覷.

一、應用問題的重要作用

《普通高中數學課程標準(實驗)》在課程基本理念中提到：“發展學生的數學應用意識.高中數學課程應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力.”[1]可見，我們在教學過程中要讓學生真正體會到：數學離我們的生活很近，能夠幫助我們解決身邊的實際問題，是有價值的數學.只要教師有所重視，并在教學中不斷滲透，學生就會不斷提高應用意識.

而要想讓學生實現自主探究、動手實踐、解決實際問題，并不是一蹴而就的，要在前期做大量的鋪墊和準備.通過教育實踐，筆者總結出發展學生的數學應用能力，大概要經歷這樣幾個層次：(1)通過解決給出的實際應用問題，初步體會數學的應用價值，提高學習數學的興趣；(2)積累數學的基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，提高應用數學解決問題的能力；(3)從生活中提出問題，建立數學模型，解決實際問題.不同的學生由于能力的不同，思維方式的差異，能達到的水平會有所不同，難度可以區分，但是過程必須經歷.

在第一個層次中，應用問題承載著讓學生體會數學應用價值的使命，也是學生最容易接受的形式，我們必須重視這個環節，多思考，選擇或編制能夠反映數學應用價值的應用問題.

二、從實際問題抽象出數學應用題的必要性

要提高學生的數學應用能力，必須循序漸進，如果直接讓學生從生活中提出問題，建立數學模型，再來解決實際問題是不現實的，所以就需要給學生一些題目先讓他們有所體會.題目從哪里來呢？實際問題往往比較復雜，變量較多，不能直接使用，這就需要做一些提煉才能滿足我們希望運用的數學模型.這個過程需要很強的嚴謹性，稍有疏忽就會出現問題，達不到我們預想的效果.

從實際問題抽象出數學應用問題的過程，如果抽象得不夠，就會使學生無從下手，本文所舉的案例就屬于這種情況.通常，我們將條件加強就可以使問題明確而便于解答.但同時另一個問題又出現了，附加了很多條件，使得問題的應用性變淡，編制的痕跡過重，題目不符合實際，甚至脫離實際.我們在教學中常常關注怎樣教會學生，卻忽視了應該先對教學做深入思考，才能達到我們所期望的目標.

三、選擇和編制數學應用問題的原則

培養和提高學生的數學應用意識，要從提高數學應用問題的教學入手，最該解決的是對題目的選擇和編制，讓題目盡量貼近生活，符合實際，得出的結果對實際有應用和指導意義.讓學生通過解這樣的應用問題，體會數學的應用價值，領悟到學習數學的目的是為了解決實際問題.要實現這個目標，教師需要多思考，從生活中積累好的素材，做適當的抽象，成為恰當的數學應用問題.其實教科書在數學應用價值的滲透上已經下了一番功夫了，幾乎每一章的最后一節都安排了應用問題，絕大多數題目都很好，只是個別需要進一步推敲，這也給一線教師提出了研究的課題.筆者正是從對大量題目的思考中，加深了問題的理解，并做出了一些實踐.

四、選擇和自編數學應用問題的探索實踐

1.編制應用問題需要留心生活中的問題

例1：某市移動公司開設了兩種通信業務：全球通使用者先繳50元基礎費，然后每分鐘通話費用0.4元，神州行不繳基礎費，每分鐘通話費用0.6元，若一個月通話x分鐘，兩種通信業務費用分別為y1，y2；

(1)寫出y1，y2與x的關系；

(2)在同一坐標系作出函數圖像；

(3)該選擇哪種通信業務更劃算，為什么？

這個例子是以一次函數為模型的，完全來源于實際生活，幾乎沒有什么提煉，學生比較容易接受，圖像也很直觀，學生很好理解，基本沒有障礙.

2.編制應用問題需要對實際問題進行抽象

并不是每個題目都這么簡單，絕大多數是需要進行抽象的，但抽象要適度，最好有一定的開放性，這樣才更符合實際情況，也給學生思考的空間.

例2：某服裝批發商批發時尚仔褲，每條仔褲的成本價為40元，批發價60元，為了促銷，若批發數量超過100條時，每多批發1條，批發的全部商品的單價就降低0.02元(據調查，他每天批發的貨物的最大數量不多于500條)，設批發條數為x條，問題：

(1)設單價為P，求P關于x的函數解析式；

(2)設利潤為Q, 求Q關于x的函數解析式；

(3)畫出(2)中函數圖像并求利潤的最大值.

這個例子是有關利潤的問題，在解決了以上問題之后，可繼續追問：題目中規定了一個情境，就是批發商批發貨物的最大數量不多于500條，請思考這個500條制定得是否合理？學生進行討論，認為合理是對于批發商而言的，也就是批發商所得利潤的最大化，其實這個值應是550條，只要不高于這個值，利潤都在增加，因此制定是合理的.接著再提問：如果批發商擴大經營，每天批發的貨物多于550條，應該如何制訂經營策略.學生繼續展開熱烈討論.

給學生一定的時間去討論和分析，他們都可以得出結果，并且通過自我探索的過程，學生從中得到的收獲更深刻，也更愿意去分析問題、解決問題，同時還要懂得把課堂放手給學生.現在教科書的每一章內容幾乎都設有專門的應用部分，仔細分析會發現，這部分知識并不是突然出現的，從引入開始就有意識地向學生滲透應用的思想，它是貫穿教學始終的隱形線索.如果我們在每一節的教學過程中都有意去滲透，那么最后講應用問題的時候學生就不會感覺突兀，更不會覺得是在耽誤時間了.

數學應用問題的教學，是發展學生數學應用意識的初始階段，接下來還要在這個基礎上進行深入引導和開展教學，我們要將數學的應用意識貫穿在教學始終，指引我們開展教學活動，真正提高學生的數學應用意識，這也是新課程賦予數學教師的任務和使命.希望通過教師的不懈努力讓每個學生都有所突破和收獲，快樂地學習有價值的數學.

[1]中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準(實驗)[S].北京：人民教育出版社, 2003.

(責任編輯：李 珺)