淺談數(shù)學(xué)概念教學(xué)

吳中才

【摘要】數(shù)學(xué)離不開推理，推理又離不開判斷，而判斷又是以概念為基礎(chǔ)的.因此，數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)教學(xué)中有著至關(guān)重要的作用.針對概念獲得的兩種基本方式——概念形成與概念同化，概念教學(xué)通常包括四個主要環(huán)節(jié)：概念的引入、概念的形成、概念的明確（辨析）、概念的精致.

【關(guān)鍵詞】概念；數(shù)學(xué)概念；概念教學(xué)

概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式.正確的概念是科學(xué)抽象的結(jié)果.人們在實踐的基礎(chǔ)上得到了豐富的感性認(rèn)識材料，經(jīng)過去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的改造過程，舍掉了事物的一些次要方面，保留了事物的本質(zhì)屬性，形成了概念.

例如“積分”的概念，分割→求和→求極限，其中分割要求無限細(xì).將區(qū)間等分并不是它的本質(zhì)特征，只要讓所有區(qū)間的長度均趨近于0即可.而教材給出的兩個例子（一個求曲邊三角形的面積，一個求變力做功）都是采用等分的辦法，在這兩個例子的基礎(chǔ)上講述積分的概念，就需要澄清區(qū)間的分割并不一定要等分，更要讓學(xué)生明白為什么要等分（方便求和）.另外，取小矩形的高時，兩個引例取的都是小區(qū)間的端點處的函數(shù)值，這也不是本質(zhì)特征，其實在小區(qū)間內(nèi)任取一點處的函數(shù)值均可作為小矩形的高，教學(xué)時也要讓學(xué)生明白為什么取端點函數(shù)值（還是方便計算）.

數(shù)學(xué)離不開推理，推理又離不開判斷，而判斷又是以概念為基礎(chǔ)的.因此，概念不清，數(shù)學(xué)推理寸步難行.所以，有人說概念是思維的細(xì)胞.

例如，兩個平面平行的概念是我們研究兩平面平行的判定和性質(zhì)的基礎(chǔ)，如果不清楚兩個平面平行的概念，就無法證明兩個平面平行的判定（運用反證法的思維起點就是定義），也無法研究兩平面平行的性質(zhì)定理了.

1概念的分類

數(shù)學(xué)概念分為兩類：一類是對現(xiàn)實對象或關(guān)系直接抽象而成的概念；另一類是純數(shù)學(xué)抽象物，這類概念是抽象邏輯思維的產(chǎn)物，是一種數(shù)學(xué)邏輯構(gòu)造，沒有客觀實在與之對應(yīng)，這類概念對建構(gòu)數(shù)學(xué)理論非常重要，是數(shù)學(xué)深入發(fā)展的邏輯源泉.

例如，直線、平面、異面直線等就是直接抽象而成的概念；集合、函數(shù)、方程等則是純數(shù)學(xué)抽象物.

2概念的掌握

概念的掌握又稱概念的獲得，一般有兩種基本方式──概念形成與概念同化.這里，概念形成側(cè)重指由具體到抽象、由特殊到一般、經(jīng)過分析綜合去掉非本質(zhì)特征，保留本質(zhì)屬性的過程.概念同化則指依賴學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的概念，以定義的方式直接向?qū)W習(xí)者提示概念的本質(zhì)屬性的方式.前者更適合低年級學(xué)生，后者更適合高年級學(xué)生.在下面的“概念的形成”環(huán)節(jié)，包括概念形成與概念同化兩種不同的獲得方式.

認(rèn)識論原理告訴我們，人們不可能一次地和孤立地認(rèn)識一類事物的本質(zhì)特征，而是用聯(lián)系的觀點，并且要經(jīng)歷一個由感性到理性的發(fā)展過程.因此，我們不能孤立地來談?wù)摳拍罱虒W(xué)，應(yīng)該把概念放到整個體系中去考察，但要分階段處理.

例如，“函數(shù)”在初中是從運動變化的角度，用變量的觀點進(jìn)行定義的，主角是變量，而變量往往有著一定的實際意義；高中則是以集合論為基礎(chǔ)，用對應(yīng)（映射）的觀點進(jìn)行定義的，突破了變量的局限，如理解y=1是否是函數(shù)，理解數(shù)列是特殊的函數(shù)，用映射的觀點就容易理解了；到大學(xué)還會講到隱函數(shù)，將函數(shù)與方程聯(lián)系起來了，同時還要注意到函數(shù)與方程的區(qū)別.同一個概念在不同階段可以得到不同的發(fā)展，但在不同階段也應(yīng)當(dāng)有不同的教學(xué)要求.

3概念的教學(xué)

概念教學(xué)一般有四個主要環(huán)節(jié)：概念的引入、概念的形成、概念的明確（辨析）、概念的精致.

概念的引入一般結(jié)合學(xué)生已有的知識經(jīng)驗和生活經(jīng)驗，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)概念的必要性，體會到概念的作用.常常采用從類比引入、從舊知引入、從需要引入等方式.例如，球的概念可以類比圓的概念引入，二面角的概念可類比平面角的概念引入.

在概念的形成環(huán)節(jié)，要引導(dǎo)學(xué)生思考、概括，促進(jìn)學(xué)生對概念的有效同化，可以從以下幾點設(shè)計教學(xué)：（1）向?qū)W生提供適當(dāng)數(shù)量、適當(dāng)強(qiáng)度的刺激模式，以便于學(xué)生分析、比較；（2）讓學(xué)生進(jìn)行充分的自主活動，使他們有機(jī)會經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過程，并從共同屬性中抽象出本質(zhì)屬性；（3）概括成概念后，教師適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生對認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的新舊概念進(jìn)行分化，并將新概念納入到已有的概念系統(tǒng)中去.

概念的明確需要從概念的內(nèi)涵和外延兩個方面來考慮.明確概念之后，還要把概念納入到概念體系中，去明確概念間的關(guān)系.

概念的精致實質(zhì)上是對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延進(jìn)行盡量詳細(xì)的“深加工”，對概念要素與關(guān)鍵詞進(jìn)行具體界定，獲得概念的某些限制條件，以使學(xué)生建立更清晰的概念表象，對概念的細(xì)節(jié)把握更加準(zhǔn)確，等等.概念的精致通常表現(xiàn)為對各種可能的特例進(jìn)行剖析，分析可能發(fā)生的概念理解錯誤，理解概念的各種變式，還包括掌握概念的多元表征（如形象表征、符號表征等），并能在各種表征間靈活轉(zhuǎn)化，這也是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本策略.

下面看一個“函數(shù)極值”概念的教學(xué)設(shè)計案例：