幾何概型常見題型分類解析

胡磊

幾何概型是一個重要的概率模型，由幾何概型的概率公式可以知道，確定幾何區域的測度是至關重要的.因此，我們要掌握幾種常見測度的幾何概型，舉一反三，做到真正地掌握幾何概型的概率求法.下面我們就介紹幾種常見測度的幾何概型.

一、長度型幾何概型

例1已知函數f（x）=log2x，若在[1，8]上任取一個實數x0，則不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是.

解析：區間[1，8]的長度為7，滿足不等式1≤f（x0）≤2即不等式1≤log2x0≤2，解答2≤x0≤4，對應區間[2，4]長度為2，由幾何概型公式可得使不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是27.

點評：本題考查了幾何概型問題，其與線段上的區間長度及函數被不等式的解法問題相交匯，使此類問題具有一定的靈活性，關鍵是明確集合測度，本題利用區間長度的比求幾何概型的概率.

例2在區間[-3，5]上隨機取一個數a，則使函數f（x）=x2+2ax+4無零點的概率是.

解析：由已知區間[-3，5]長度為8，使函數f（x）=x2+2ax+4無零點即判別式Δ=4a2-16<0，解得-2

點評：本題屬于幾何概型，只要求出區間長度以及滿足條件的區間長度，由幾何概型公式解答.

二、面積型幾何概型

例3已知1≤a≤3，2≤b≤5，則方程x2-bx+a2=0有實數解的概率是.

分析：根據已知條件需要明確本題涉及是古典概型還是幾何概型，由于任取一個實數，事件個數是無數多個，所以滿足幾何概型.剩下的是解決本題需要建立正確模型，關鍵構造滿足條件的幾何圖形，結合面積計算方法求解.

解析：x2-bx+a2=0有實數解的充要條件是Δ=b2-4a2≥0.

即b+2a≥0

b-2a≥0或b+2a≤0

b-2a≤0.如下圖所示，區域1≤a≤3，2≤b≤5的面積為6，

在1≤a≤3，2≤b≤5前提下，區域不等式組表示的區域面積為12×3×（52-1）=94，

由幾何概型等……