關于分類討論思想在初中數學中運用的思考

◆鄭 華

(新疆阿克蘇市第九中學)

關于分類討論思想在初中數學中運用的思考

◆鄭 華

(新疆阿克蘇市第九中學)

初中階段學生抽象思維的發展逐漸超過形象思維，分類討論思想作為抽象思維的典型代表，成為初中數學解題的重要技巧。本文從探討分類討論思想的相關內容入手，解讀分類討論思想與初中數學教學的適切性，分析初中數學中應用分類討論思想的具體案例，以期提高學生應用分類討論思想解決數學問題的能力。

分類討論思想 初中數學 應用方法

一、分類討論思想的意蘊解讀

分類討論思想是初中數學中利用邏輯劃分思想解決數學問題的一類思維方式，它主要是應用“化整為零”的思想，對數學問題逐一擊破，再通過積零為整的思想，結合歸類整理的有關方法，實現數學問題的有效解決。分類討論思想的應用能夠幫助學生理清解題的思路，提高解題的效率，促進學生創新意識的形成，增強學生的實踐能力。初中數學中分類討論思想的應用通常要遵循兩個基本原則，一是分類的同一與相稱原則，分類的同一與相稱是指討論對象的明確性與討論標準的一致性；二是實際教學中分類討論思想的互斥與多層次原則，分類討論中的各個子項之間的關系應該是互斥的，不同子項之間應該沒有交集，要有層次的解決多次分類的問題，采用二分法逐層化解概念的相互矛盾問題。

二、分類討論思想在初中數學中運用的分析

(一)初中數學函數中分類討論思想的運用

函數是初中數學學習中的重點與難點，也是應用分類討論思想最多的一部分內容，通常應用于解決一次函數、反比例函數及二次函數等題型，如例題：求函數y=(k-1)x2-kx+1與x軸的交點坐標。

從這道題的已知的條件來看，條件并不是唯一的，題目中沒有明確該函數是一次函數還是二次函數，這就需要應用分類討論思想，對函數進行相關內容的分類討論。首先，要根據k的值，討論該函數為一次函數或二次函數時，函數y=(k-1)x2-kx+1與x軸的交點坐標，即當k=1時，該函數為一次函數，這時函數y=(k-1)x2-kx+1與x軸的交點坐標為(1，0)；當k不等于1時，函數y=(k-1)x2-kx+1為二次函數，就需要繼續運用分類討論思想，討論△>0與△=0兩種情況下二次函數與x軸的交點坐標，即當△>0時，k不等于2，二次函數與x軸會有兩個交點(1/K-1，0)、(1，0)；當△=0時，k=2，二次函數與x軸會有一個交點(1,0)。

(二)初中數學幾何中分類討論思想的運用

分類討論思想在幾何中的應用最為直觀，在學習圓與直線的位置關系這部分內容時，通常需要依據直線與圓有兩個公共點、唯一公共點及沒有公共點，將圓與直線的關系劃分為相交、相切與相離，如例題：兩個圓的半徑分別為6與4，如果這兩個圓相切，求這兩個圓之間的圓心距是多少？

從這道題中的已知條件可知，該題討論的是有關兩圓相切的內容，這時學生必須能夠利用分類討論思想厘清兩圓之間的關系，確定兩圓相切的計算過程及內容；確定好相切關系以后，教師還需引導學生繼續利用分類討論的思想對相切的情況進行分類討論，兩圓相切一般為兩種情況，一種是兩圓外切，兩圓如果是外切，那么可以得出兩個圓之間的圓心距為10；一種是兩圓內切，內切時兩圓之間的圓心距為2，綜上所述，可知兩個圓之間的圓心距分別為10或2。

(三)初中數學方程中分類討論思想的運用

方程的學習對于初中生來說具有一定的難度，如何在不同情況下方程利用不同的方法來討論方程的具體情況一直是初中數學學習的難點，教師必須引導學生掌握多角度思考的方式，全面的把握每一種可能出現的情況，有效的應用分類討論思想，合理的解決方程中的具體問題。如例題：解關于x，y方程組。

這道題的解答需要應用消元的方法，方程組的兩邊可以同時乘以m與n，由此將方程組中的y消去，這時方程組中就只有m與n兩個字母，由于m、n是字母而不是具體的數字，因此需要考慮m與n的取值范圍，這就需要運用分類討論思想，討論m與n的三種取值范圍。一是m≠0且n≠0的情況下，原方程的解為x=1，y=0；二是m=0但n≠0的情況下，原方程的解為x=1，y=0；三是m≠0且n=0的情況下，原方程的解為x=1，y=0.由此可知，原方程的解為x=1，y=0.

綜上所述，分類討論思想在初中數學中的應用做好兩個方面的內容，一是要引導學生在解題的過程中掌握分類討論的思想與方法，學會運用分類討論思想解決實際的數學問題；二是要幫助學生養成發散性思維，逐漸引導學生從形象思維轉變為抽象思維，加強學生的問題解決能力，靈活運用分類討論思想解決初中數學的問題。

初中數學中運用分類討論思想是初中數學思想的具體表征，教師要利用分類討論思想培養學生的抽象思維能力，提高學生的解題效率與質量，促進學生認知與思維的不斷發展與進步。

[1]袁少建．分類討論思想在初中數學解題教學中的運用[J]．數學學習與研究，2015，(03).

[2]劉海琴．分類討論思想在初中數學解題中的應用[J]．理科考試研究，2014，(05).