情境引入的生活化與知識建構(gòu)的數(shù)學(xué)化
——以“直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)為例

陸靜

情境引入的生活化與知識建構(gòu)的數(shù)學(xué)化
——以“直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)為例

陸靜

數(shù)學(xué)來源于生活，存在于現(xiàn)實(shí)且應(yīng)用于生活，教學(xué)過程是幫助學(xué)生把現(xiàn)實(shí)生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程。以“直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)為例，從情境引入的生活化、知識建構(gòu)的數(shù)學(xué)化以及生活化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要注重教向?qū)W的轉(zhuǎn)變?nèi)齻€層面入手，開展生活化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，充分展示數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的生活化，凸顯生活現(xiàn)象的數(shù)學(xué)化。

數(shù)學(xué)教學(xué)；情境引入；知識建構(gòu)；生活化；數(shù)學(xué)化

荷蘭教育家弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)來源于生活，存在于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于生活，教學(xué)過程是幫助學(xué)生把現(xiàn)實(shí)生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程。”這是對數(shù)學(xué)生活化的精彩描述。生活中無處沒有數(shù)學(xué)，處處存在著數(shù)學(xué)思想，關(guān)鍵是教師是否善于結(jié)合課堂教學(xué)內(nèi)容去捕捉“生活現(xiàn)象”，采擷生活數(shù)學(xué)實(shí)例，為課堂教學(xué)服務(wù)。教師應(yīng)努力創(chuàng)設(shè)生活化情境，把教材內(nèi)容與生活情境有機(jī)結(jié)合起來，使數(shù)學(xué)教育真正回歸到學(xué)生生活中，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正與生活交融在一起，實(shí)現(xiàn)教學(xué)氛圍生活化。這樣，就會使學(xué)生真正體會到生活中處處有數(shù)學(xué)，處處用數(shù)學(xué)，感受到數(shù)學(xué)的生活價值，聆聽生活中的數(shù)學(xué)真諦。本文以“直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)為例，探討數(shù)學(xué)教學(xué)中情境引入的生活化與知識建構(gòu)的數(shù)學(xué)化這一課題。

一、情境引入的生活化

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)“情境”是學(xué)習(xí)環(huán)境的重要因素，知識是學(xué)生積極主動建構(gòu)的，是個體根據(jù)對外部世界的獨(dú)特體驗(yàn)并賦予其個人經(jīng)驗(yàn)來建構(gòu)的。知識不是灌輸?shù)模挥性谡鎸?shí)的環(huán)境中生成的知識，才是有效的，如果給予學(xué)習(xí)者一個近似真實(shí)環(huán)境的氛圍，學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)就會更為主動、積極，學(xué)習(xí)者就能主動去思考、探究，先前建構(gòu)的知識會不斷擴(kuò)充、積累。但是，運(yùn)用情境教學(xué)時首先需用“著眼發(fā)展”的觀點(diǎn)，全面提出教學(xué)任務(wù)，而后優(yōu)選教學(xué)方案，根據(jù)教學(xué)任務(wù)、班級特點(diǎn)及教師本人素質(zhì)，選擇創(chuàng)設(shè)情境。創(chuàng)設(shè)情境的途徑有很多，例如，生活展現(xiàn)情境、實(shí)物演示情境、圖畫再現(xiàn)情境、音樂渲染情境、表演體會情境、語言描述情境等，縱觀各種途徑，無一不是與生活相關(guān)的，可見，情境引入的生活化在課堂教學(xué)中具有深遠(yuǎn)意義。

生活是數(shù)學(xué)的源泉，生活中充滿了數(shù)學(xué)問題。教師要從學(xué)生的生活出發(fā)，把生活中的數(shù)學(xué)原型生動地展現(xiàn)在課堂上，使學(xué)生眼中的數(shù)學(xué)不再是冰冷的、抽象的，而是富有情感的、貼近生活的、具有活力的東西。只有這樣，學(xué)生才能在具體形象的豐富感知中，化抽象為具體，真正形成對數(shù)學(xué)的認(rèn)識。生活情境應(yīng)該促進(jìn)學(xué)生在自主探究的學(xué)習(xí)過程中，真正理解和掌握數(shù)學(xué)知識、技能、數(shù)學(xué)思想和方法，并建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)知識，同時，積累廣泛的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的許多問題情境，僅僅是作為引入新知識的“腳手架”或“拐杖”，而沒有在新知識的發(fā)生、發(fā)展過程中發(fā)揮其實(shí)質(zhì)性的作用。這里所說的發(fā)生、發(fā)展的過程就是數(shù)學(xué)知識“再創(chuàng)造”的過程，不是數(shù)學(xué)老師的直接灌輸、而是學(xué)生主動建構(gòu)數(shù)學(xué)新知的過程。只有經(jīng)歷了這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情才會被充分地激發(fā)出來。例如，“直線與圓的位置關(guān)系”這節(jié)課題引入，為了讓學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系，通過“展一展”環(huán)節(jié)，在《學(xué)習(xí)任務(wù)單》中設(shè)計了以“日出”為主題的三個項目：（1）畫一幅主題為“日出”的色彩作品；（2）拍攝或搜集有關(guān)“日出”的照片；（3）制作主題為“日出”的動畫。

課堂教學(xué)的導(dǎo)入猶如文章的“鳳頭”，樂曲的“引子”，戲劇的“序幕”，負(fù)有醞釀情緒、集中學(xué)生注意力、滲透主題和帶入情境的任務(wù)。其中，項目一的內(nèi)容緊扣學(xué)生所學(xué)專業(yè)——藝術(shù)設(shè)計；項目二來源于學(xué)生的生活實(shí)際；項目三的內(nèi)容不僅與學(xué)生的生活實(shí)際密切相關(guān)，而且需要學(xué)生通過動畫效果呈現(xiàn)主題。這樣，學(xué)生能夠經(jīng)歷三種不一樣的生活情境。日出，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)來源于生活，發(fā)現(xiàn)了日出情境中蘊(yùn)含著直線與圓的位置關(guān)系，感知到生活中數(shù)學(xué)的美，并激發(fā)他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系的欲望。在這樣的氛圍里，學(xué)生的思想不受束縛，往往能得到很多意想不到的收獲。學(xué)生憑著自己的經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)，對貼近生活的數(shù)學(xué)知識具有一定的直觀認(rèn)識和感性認(rèn)識，教師加以適當(dāng)引導(dǎo)，就很容易使學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識，讓學(xué)生學(xué)得輕松、愉快。這樣，不僅能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且能促進(jìn)學(xué)生去求索和創(chuàng)新。

二、知識建構(gòu)的數(shù)學(xué)化

建構(gòu)主義的核心理念是，學(xué)習(xí)者應(yīng)該主動建構(gòu)自己的知識，而非被動地從環(huán)境中接受知識。[1]建構(gòu)主義對教學(xué)有以下五個建議：（1）課堂應(yīng)給學(xué)生提供需要解決的問題，讓學(xué)生從中體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)新知的機(jī)會；（2）課堂應(yīng)給學(xué)生提供復(fù)雜的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，便于學(xué)生從不同的視角考察知識、整合知識；（3）課堂應(yīng)提供學(xué)生與教師以及其他同學(xué)進(jìn)行合作交流、思考與學(xué)習(xí)的機(jī)會；（4）學(xué)生應(yīng)學(xué)會自我調(diào)節(jié)，成為自己學(xué)習(xí)的主人；（5）學(xué)生需要參與真實(shí)的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)生活化為學(xué)生主動建構(gòu)數(shù)學(xué)知識提供了一個平臺。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)問題時，教師需提供一定的生活情境，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生在積極主動的學(xué)習(xí)過程中觀察、合作、交流和體驗(yàn)，從而建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)知識。

例如，“直線與圓的位置關(guān)系”這一課的建構(gòu)歸納環(huán)節(jié)，可引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀摩如圖1所示幾何畫板軟件制作動畫“日出”：當(dāng)太陽從地平線冉冉升起，日出的景象像是一條地平線（直線）與太陽（圓）相交、相切、相離的過程。

圖1 幾何畫板軟件制作的動畫“日出”

有了這樣的感性認(rèn)識，教師再理性地引導(dǎo)學(xué)生“試一試”分析以下三點(diǎn)：（1）如果我們將太陽看作一個圓，那么地平線可以看作什么呢？（2）請問，太陽冉冉升起的過程中與地平線有幾種位置關(guān)系呢？（3）每一位同學(xué)體驗(yàn)一下幾何畫板軟件制作的日出動畫。通過此活動，學(xué)生注意到一種直觀判斷直線與圓位置關(guān)系的方法——幾何法，即判斷圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小：若d＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線與圓相切；若d＞r，則直線與圓相離。

人們從感知到思維的每一個認(rèn)識過程都是從注意開始的，注意是一切認(rèn)識過程的開端。俄國著名的教育學(xué)家烏申斯基在談到注意的作用時說：“注意是一扇門，一切來自外部世界的，剛剛進(jìn)入人的心靈的東西都要從它那里通過。”因此，教師應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生思考問題：這直線與圓的三種位置關(guān)系，可否有代數(shù)方法來判斷呢？為了吸引學(xué)生的注意力，可創(chuàng)設(shè)“探一探”：通過觀察如圖2所示“小黃人”幾何畫板圖形，積極探索以下4個有趣的數(shù)學(xué)問題：（1）請寫出“機(jī)器人臉”的“左眼”所在圓的方程和左唇線所在直線的方程；（2）猜猜“左脣線”的延長線與“左眼”是什么位置關(guān)系；（3）如何判斷“左脣線”的延長線與“左眼”的位置關(guān)系；（4）“左脣線”的延長線的方程與“左眼”的方程有公共解？如何判斷？

問題是有效教學(xué)的一種重要的輔助行為，通過7個數(shù)學(xué)問題的環(huán)環(huán)引導(dǎo)，學(xué)生使用個人的知識儲備來積極構(gòu)建他/她的解釋和意義，鼓勵學(xué)生集中注意力思考和解決問題，幫助他們進(jìn)入最佳的知識建構(gòu)過程，從而理清一個事實(shí)。即直線L和圓C的方程分別為：

Ax+By+C=0,x2+y2+Dx+Ey+F=0。

圖2 “小黃人”幾何畫板圖形

如果直線L和圓C有公共點(diǎn)，由于公共點(diǎn)同時在直線L和圓C上，所以公共點(diǎn)的坐標(biāo)一定是這兩個方程的公共解。反之，如果這兩個方程有公共解，那么，以公共解為坐標(biāo)的點(diǎn)必是直線L與圓C的公共點(diǎn)。從而，引導(dǎo)學(xué)生找到判斷直線與圓的另一種方法——代數(shù)法，即聯(lián)立直線方程與圓的方程，構(gòu)成方程組：。

解方程組，依據(jù)解的個數(shù)判斷兩者的位置關(guān)系。學(xué)生獲得判斷直線與圓的位置關(guān)系的第二種方法：（1）若方程組有兩個不同的解，即直線與圓有兩個交點(diǎn)，則直線與圓相交；（2）若方程組僅有一組解，即直線與圓有一個交點(diǎn)，則直線與圓相切；（3）若方程組無解，即直線與圓沒有交點(diǎn)，則直線與圓相離。由此進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行分類，并總結(jié)出判斷兩者位置關(guān)系的方法：（1）判斷圓心到直線的距離與圓的半徑大小關(guān)系；（2）聯(lián)立直線與圓的方程，構(gòu)成方程組，判斷解的情況。這里的方法（1）能夠培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思維方式思考解決問題。經(jīng)過上述知識的建構(gòu)，接下來，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入“理一理”活動環(huán)節(jié)。如圖3所示，學(xué)會用一張圖表總結(jié)出判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法：（1）幾何法；（2）代數(shù)法。從圖中，我們可以清晰地發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系的幾何特征與代數(shù)特征。

圖3 直線與圓的位置關(guān)系

三、生活化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要注重教向?qū)W的轉(zhuǎn)變

如果說教一個活動的最好辦法是演示，那么學(xué)一個活動的最好方法是做。生活化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)為一個個教師活動與學(xué)生活動所貫穿，例如，情境導(dǎo)入中的“展一展”活動，它帶領(lǐng)學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的生活化；又如，知識建構(gòu)中的“試一試”、“探一探”、“理一理”三個活動層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生一步步理清數(shù)學(xué)原理，嘗試“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)過程，體現(xiàn)情境生活的數(shù)學(xué)化。所以，無論是在情境引入環(huán)節(jié)還是在知識建構(gòu)環(huán)節(jié)，我們需要重點(diǎn)關(guān)注的是將教轉(zhuǎn)向?qū)W，從教師活動轉(zhuǎn)向?qū)W生活動并且由感覺效應(yīng)轉(zhuǎn)到運(yùn)動效應(yīng)。[2]

值得注意的是，生活化的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)會因?qū)W生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)特點(diǎn)不同而異。然而，不管如何教與學(xué)，應(yīng)該遵循主體性原則、情境性原則及主動構(gòu)建原則。教師要充分展示數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的生活化，凸顯生活現(xiàn)象的數(shù)學(xué)化。

[1]托馬斯.費(fèi)茲科，約翰.麥克盧爾.教育心理學(xué)——課堂決策的整合之路[M].吳慶麟，譯.上海：上海人民出版社，2008：159.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，譯.上海：上海教育出版社，1995：103.

[責(zé)任編輯盛艷]

陸靜，女，江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院揚(yáng)州商務(wù)分院講師，教育碩士，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論。

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1674-7747（2016）33-0043-03