小構(gòu)造 大智慧
——例談“特例法”在解幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

汪麗仙

（浙江省常山縣第一中學(xué)）

小構(gòu)造 大智慧
——例談“特例法”在解幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

汪麗仙

（浙江省常山縣第一中學(xué)）

俗話說(shuō)：“授人以魚(yú)，不如授人以漁.”然而“漁”的方式也是多種多樣的，學(xué)在平時(shí)，但也只為六月試鋒，金榜題名.恰逢學(xué)校舉行了一場(chǎng)教學(xué)比武，本人選擇的課題是“特例法在解幾何問(wèn)題中的應(yīng)用”，一是出于所任教的文科班級(jí)學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，在提升其知識(shí)掌握量及度上較困難時(shí)，如何幫助他們多得分的考慮，二是想嘗試一下學(xué)生對(duì)特例法的接受及應(yīng)用程度，以便在平時(shí)的教學(xué)中加以滲透和推廣.下面就這堂課的一些教學(xué)片斷展開(kāi)，談?wù)劚救说囊恍┫敕?

根據(jù)平時(shí)的教學(xué)、作業(yè)和測(cè)試，選取了學(xué)生較懼怕的平面向量運(yùn)算，并結(jié)合平時(shí)的教學(xué)進(jìn)行了選題.

問(wèn)題1：已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為.

學(xué)生2：以直線AB、AD分別為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B（1，0），C（1，1），D（0，1），設(shè)E（x，0）

學(xué)生3：取E為AB中點(diǎn)，用學(xué)生1或?qū)W生2的方式求出的結(jié)果是一樣的.筆者趁機(jī)提出“是不是可以將E點(diǎn)取得更為特殊一些呢？”

這時(shí)從學(xué)生表情上可以明顯地感覺(jué)到他們心靈的震撼.

問(wèn)題2：在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，BC=10，則·=______ _.

學(xué)生5：取△ABC為等腰三角形，則AM⊥BC

以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線MC、MA分別為x、y軸

建立平面直角坐標(biāo)系，則B（-5，0），C（5，0），A（0，3）

學(xué)生6：取△ABC為等腰三角形，則AM⊥BC

大多數(shù)學(xué)生都能想到以上的解法，轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的三角形計(jì)算問(wèn)題對(duì)多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)易接受，這也說(shuō)明了特例法具有較強(qiáng)的實(shí)用性和可操作性.

三角形中的外心、內(nèi)心、重心、垂心對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)概念不清、易混淆，這一問(wèn)題又牽涉了向量，所以成為多數(shù)學(xué)生口中的難題.但如果從特例入手，卻有種“撥開(kāi)云霧見(jiàn)晴青天”的意境，而事實(shí)證明確實(shí)如此.此題一給出，不到3分鐘便有了回應(yīng).

學(xué)生10：取△ABC為直角三角形，則O為斜邊的中點(diǎn).若BC為斜邊，則，即P與A重合，所以P為△ABC的垂心.

這堂課是在高二學(xué)生中開(kāi)設(shè)的，選取的題目基本是高考題，但隨著課題的給出，學(xué)生處理起來(lái)游刃有余，而且積極性高漲，這足以證明特例法易被學(xué)生接受和應(yīng)用.教學(xué)比武雖然落下了帷幕，但這一方法一直延續(xù)到筆者的課堂里，而且學(xué)生受益匪淺.

例1.如下圖所示，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的四分之一點(diǎn)，設(shè)，則m+n=______ _.

取平行四邊形ABCD為正方形，以直線AB、AD分別為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，

此題錯(cuò)誤率極高，原因是學(xué)生表示向量時(shí)很混亂，這一特例則省去了平面向量的表示，轉(zhuǎn)化成為坐標(biāo)的運(yùn)算，思路清晰.

這一特例的處理讓學(xué)生從復(fù)雜的設(shè)未知數(shù)運(yùn)算中得到了“解脫”.

例3.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2AD，設(shè)∠DAB=θ，θ∈（0，），以A、B為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e1，以C、D為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)A的橢圓的離心率為e2，則e1·e2= _____.

此題題干讓較多學(xué)生有“暈”的感覺(jué)，加之已知量少，所以運(yùn)算較難進(jìn)行，這一特例則使運(yùn)算得以開(kāi)展.

例4.在三棱錐T-ABC中，TA，TB，TC兩兩互相垂直，T在底面ABC上的正投影為D，下列命題：

①TA⊥BC，TB⊥AC，TC⊥AB；

②△ABC是銳角三角形；

其中正確的是______.（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）

在正方體中取三棱錐T-ABC，則易得①②③均正確，④錯(cuò)誤.

此類題是大多數(shù)學(xué)生懼怕的題型，多選怕錯(cuò)，所以很多學(xué)生寧可少選，也不多選，通過(guò)取特例建立模型既節(jié)省了時(shí)間又提高了正確率，更重要的是學(xué)生克服了恐懼敢于下手去做，提升了自信心.

諸如此類的例子舉不勝舉，可以說(shuō)，學(xué)生對(duì)特例法的接受、理解、應(yīng)用程度是筆者始料不及的.作為教師，如果我們能多去觀察并了解學(xué)生的“需求”，“供應(yīng)”得恰到好處，相信我們離“供需平衡”的目標(biāo)就更近了一步.

·編輯 孫玲娟