圓錐曲線內接三角形定值定點問題的充要條件

南京市棲霞中學(210046) 劉建國 胡黨琴

一、問題背景

筆者在梳理近幾年的高考題中,以斜率為背景的定值定點問題在高考中層出不窮, 如2020 年新高考Ⅰ卷第22 題,2021 年新高考Ⅰ卷第21 題,2022 年新高考Ⅰ卷第21 題,2017年全國Ⅰ卷理科第20 題等等,這體現了高考“常考常新”的特點. 筆者在文獻[1]中闡述了橢圓與拋物線中相交線的中點弦的定點問題,其中結論6 中,過橢圓上一定點A引兩條弦AB,AC,當直線AB,AC的斜率之積或之和為定值時,發現直線BC過定點. 基于結論6,深入探究有關橢圓內接三角形的定值定點問題, 發現在橢圓的內接ΔABC中, 若點A為頂點,ΔABC的三邊斜率滿足一定的關系時,直線BC過定點,并且這個定點與ΔABC的三邊斜率滿足的等式關系具有等價性,揭示了圓錐曲線中定值定點問題的內在統一性,進一步豐富了此類問題的內涵.

二、結論探究

結論1已知橢圓A為橢圓C的右頂點, 過點A作直線AM,AN交C于M,N兩點, 設直線MN,AM,AN的斜率分別為k,k1,k2,則k(k1+k2) =λ(定值) 的充要條件為直線MN過定點.

圖1

圖2

圖3

三、類比遷移

在上述結論中,得到了兩類橢圓內接三角形三邊斜率關系(定值)與直線定點問題之間充要條件,在證明過程中,通過構造新的坐標系,將原有的橢圓方程轉化為一元二次方程,通過韋達定理構造斜率之積與斜率之和的關系,在證明過程中不難發現,斜率之和與斜率之積都是關于直線方程中的有關參數問題,同樣的對于雙曲線與拋物線中也有類似的結論.如下所示.

圖4

圖5

四、結論應用

基于上述橢圓有關的內接三角形的三邊斜率關系的等式關系有關直線定點問題的等價性,在一些高考模擬題中均有體現,其本源是來自與高考真題的背景下進一步對問題進行深入研究后的結果,以具體曲線為載體,將相應的條件具體化(賦值)呈現在解題者面前. 筆者羅列了以下兩道高考模擬題,供有興趣的讀者進行對比與解答.

五、結束語

圓錐曲線中基于斜率關系的定點定值問題背景下進行命題層出不窮,在一些高考試題與各地模擬試題中時常出現,背景揭示了圓錐曲線中定值定點問題的內在的統一性,問題呈現的形式卻是千變萬化(如文獻[2]). 因此在平時復習備考過程中,教師應注重對此類問題的探究,在問題的基礎上拓寬問題的深度與廣度,同時也需要教師站在一定的高度審視此類問題的命題背景,只有對問題進行深入探究,才能幫助學生更好的把握問題的本質,在復習過程中幫助學生跳出題海,充分拓寬學生的思維,避免機械刷題.