模式導航程序化 提升解題成效

最近，筆者聽了一節初二的區級示范課，感慨良多：教師備課之充分，提問之連續，“模式”之嫻熟，問題之深人，點撥之到位無一不體現出教師功底之深厚；學生配合之積極，回答之流暢，“模型”之清晰，思維之敏捷，反應之迅速…無一不展現出學生學習之主動.除此之外，筆者也想談談課堂中的一道習題引發的關于解題教學的幾點思考.

1如何理解“運動中的不變性”

本節課，就一道習題進行了長達40分鐘的講解與提問，原題如下：

題目如圖1，在 RtΔABC 中，∠ABC=90^°，AB=BC，D 是 AC 邊上一個動點，連接 BD ，設 ∠ABD=α ?0^°αlt;45^°） ，點 A 關于直線 BD 的對稱點為 E ，直線 CE 交直線 BD 于點F ，求 ∠BFC 的度數.

教師采用“一問一答”的方式帶領學生對該題進行了探究.在教師的提問與啟發下，得到了 ΔABC ，ΔABE ΔCBE 都是等腰三角形，并且得到了 BA= BE=BC .根據對稱性可知， ∠ABF=∠EBF ，同時，由圖可知， ∠BEC=∠BFE+∠EBF ，由于 BE= BC，因此可得 ∠EBC=180^°-2∠BEC. 在△ABC中，∠EBC+∠ABE=90^° ，即 ∠EBC=90^°-∠ABE= 90^°-2∠EBF ，所以 ∠EBF 結合 ∠BEC=∠BFE+∠EBF ，得 ∠BFE= 45^° ，即 ∠BFC=45^°

上述解法僅僅是課堂上的一種解法，在師生的共同努力下，還得到了許多解答方法，但大多是大同小異.緊接著，老師指出了“雖然 D 是 AC 邊上一個動點，但求出來的 ∠BFC 卻是一個定值”.筆者認為這才是本題值得研究的地方，因為它體現了運動中的不變性.然而，整節課似乎都在刻意回避對這個問題的解釋，總是在尋求“多解”上下功夫，對于為什么由動點D 的運動而產生的 ∠BFC 是一個定值沒有進行研究.

其實，如圖2，由于 ΔABC 為等腰直角三角形，所以以 AC 為直徑作ΔABC 的外接圓（記為 ?O .因為 D 為 AC 邊上任意一點，連接BD交?O 于點 F ，連接 CF ，由 ΔABC 為等腰直角三角形，易知 BF 是 ∠AFC 的平分線，因而點 A 關于直線 BD 的對稱點 E 必在直線 FC 上，故 ∠BFC=∠BAC=45^°（ 定值）.而這個定值不會因為點 D 的運動而改變，這就是本題的實質一—同圓中同弧所對的圓周角相等.

可能你會說他們是初二的學生，還沒有學到圓，但是，我們可以借助多媒體讓學生直觀地感知“運動中的不變性”（本節課沒有多媒體的參與是一個遺憾）.這樣更可以激發他們的探究欲望，加之信息技術的強大功能，有探究精神的學生將會主動去探索，實現課內到課外的自然延伸，因為本題的實質是同圓中同弧所對的圓周角相等，其他再多的解釋都是蒼白無力的.

2有效變式來自對試題本質的精準把握

在本節課即將結束的時候，教師也給出了幾種變式，而這些變式總是在尋找等腰三角形、相等的線段等方面下功夫，加上時間倉促，導致沒有出現有價值的變式.下面僅僅從試題本身的特點并且結合圓內接四邊形的有關性質給出如下變式：

變式在等腰三角形 ABC 中， AB=BC ，底角的大小為 α，D 是直線 AC 上異于 A，C 的一個動點，連接 BD ，點 A 關于直線 BD 的對稱點為 E ，直線 CE 交直線 BD 于點 F ，求 ∠BFC 的大小.

探索1如圖3，當 D 是線段AC 上異于 A，C 的一個動點時，設直線 BD 交△ABC的外接圓于點 F ，則可得 ∠BFC=∠BAC ，∠BFA=∠BCA .由 AB=BC 知∠BAC=∠BCA ，則 ∠BFC= ∠BFA ，所以 FB 是 ∠AFC 的平分線，故點 A 關于直線 BD 的對稱點 E 在 FC 上，所以圖3滿足題設，于是

∠BFC=∠BAC=α.

如圖4，當點 D 在線段 CA 的延長線上運動時，設直線 BD 交ΔABC 的外接圓于點 F ，連接 CF 并延長到至點 G ，則 ∠BFC=∠BAC ，∠BFC=∠GFD （對頂角相等），∠AFD=∠BCA （圓內接四邊形的一個外角等于其內對角）.由 AB=

BC可知 ∠BAC=∠BCA ，從而 ∠AFD=∠GFD ，所以 BD 是 ∠AFG 的平分線，故點 A 關于直線BD的對稱點 E 在直線 CF 上，所以圖4滿足題設，因而可得∠BFC=∠BAC=α.

如圖5，當點 D 在線段 AC 的延長線上運動時，設直線 BD 交 ΔABC 的外接圓于點 F ，連接 CF 并延長至點 G ，同理可得 BD 是 ∠AFG 的平分線，故點 A 關于直線 BD 的對稱點E 在 CF 上，所以圖5滿足題設，于是∠BFC=180^°-∠BAC=180^°-α.

探索1借助三角形的外接圓，就動點 D 相對于線段 AC 的三種位置關系通過逆向思維得到了 ∠BFC 的大小與等腰三角形 ABC 的底角的大小有關（即相等或互補）.下面僅就圖3中的情況在不借助于ΔABC 外接圓的情形下進行探索（其余的兩種情形留給大家探討）.

探索2如圖6，連接 BE ，由對稱性，易知 FA=FE ， BA= BE ，又 BA=BC ，從而可得

∠BEC=∠BFC+∠FBE=90^° 而 ∠EBC=180^°-2∠BEC 在等腰三角形 ABC 中 ∠ABC+2∠BAC=180^° ，即∠EBC+2∠FBE+2∠BAC=180^° ，所以有 180^°- 2∠BEC+2∠FBE+2∠BAC=180^° ，即

∠BEC=∠FBE+∠BAC.

比較 ①② ，可得 ∠BFC=∠BAC=α 由上面的探討，我們可以得到如下定理：

定理在等腰三角形 ABC 中， D 是底邊 AC 所在直線上任意一點（點 _A，C 除外），過點 A 作直線 BD 的對稱點 E ，直線 BD 交直線 CE 于 F ，則 ∠BFC 的大小與這個等腰三角形的一個底角相等或互補

3合理調配模式化下的程序化方法

著名認知心理學家J.R.安德森說：“人類習得的一切能力都是陳述性知識和程序性知識相互作用的結果.\"陳述性知識是關于事物及其關系的知識，包括事實、規則、事件等，用于回答“是什么\"的問題.程序性知識被定義為：個人無法有意識地提取，因而它的存在只能借助于某種作業形式間接推測，它是關于完成某項任務的行為或操作步驟的知識，用于回答“怎么辦”的問題[1].

陳述性知識涵蓋數學概念、定理、公式等基礎內容，如函數的定義、導數的概念，為解題奠定理論基石.教師通過系統講解、實例剖析，幫助學生構建完整的知識體系.程序性知識關注解題的步驟與方法，例如利用導數求函數極值的具體操作流程.而數學模型能將復雜問題抽象為可操作的數學結構，為程序化解題提供框架.以線性規劃問題為例，建立數學模型后，按設定變量、列出約束條件、確定目標函數、求解模型的程序步驟，可高效得出最優解.陳述性知識提供理論依據，程序性知識規范解題流程，數學模型則使程序更具針對性與系統性.學生通過運用數學模型進行程序化解題，不僅能加深對知識的理解，還能提升邏輯思維與問題解解決能力，顯著提高解題的準確性與效率，真正實現學以致用.

在問題解決的過程中，往往以陳述性知識為引導，調配程序性知識的應用.比如，首先我們要明確本題實質上是一個什么問題（是一個同圓中同弧所對的圓周角相等的問題），即“模式識別”，然后，分別呈現出探索1和探索2等一系列行動，即“程序行動”雖然探索1中我們借助了三角形的外接圓等有關知識，可能對還沒有學習“圓”的有關知識的初中生來說不太合適，但是，一方面，如果我們輔助以多媒體等技術，是可以讓學生們進行直觀感知的；另一方面，通過探索2，我們也可以得到問題的解答，同時還可以將探索得到的結論以定理的形式給出來.這里的關鍵在于進行“模式識別”，也就是抓住問題的本質特征：隨著點D 的運動， ∠BFC 的大小是一個定值.它體現了運動中的不變性，而這種“不變性”又是怎樣體現的呢？于是，需要我們合理地調配“程序行動”.探索1與探索2的出現，就是給不同層次的學生提供了不同“程序行動”的范例.

一般來說，陳述性知識的提取和建構是一個有意識、主動地激活有關命題的過程，速度較慢；程序性知識一旦成熟，則可以自動執行，速度較快[1].

因此，解題教學中，如果能夠合理地引導學生進行“模式識別”，并且能夠熟練掌握各種模式下的“程序”，那么，解題教學的效率自然就高了.

參考文獻：

[1]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].3版.北京：北京師范大學出版社，2018：103-104.