淺談高中數學教學中數形結合方法的應用

汪文舉

摘 要：作為組成數學思想方法重要部分，數形結合是數與形相通性的反映，相互間能在一定條件下進行轉化。高中數學實踐教學中的數形結合形式主要體現在：針對形的相關屬性利用精確的數來闡明；針對數與數之間的關系利用直觀的幾何來闡明。通俗來說數形結合就是以形助數和以數解形。為此，本文就高中數學教學中數形結合的實際應用進行了探析。

關鍵詞：高中數學；數形結合；數學方法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）02-085-02

數學作為高中教育體系的基礎課程，以數量關系和空間形式為主要研究對象。近年來我國不斷推廣實施素質教育和新課改，高中教育不僅限于單純的知識傳授，更重視對其數學學習能力的培養，高中數學教師應將教學質量提高視為首要的關注焦點。數學教學并非單一固定的，它呈多樣化發展趨勢，而數形結合僅是其重要的教學方法之一。

一、函數教學中數變形的應用

數形之間的關系相互對應，針對抽象的數量問題，學生無法有效把握，而形的特點形象直觀，能夠清晰地將思維具體表達出來，對解決問題可起到定性的作用，實踐教學時教師不妨將目的和手段分別明確為形和數，找出對應數的形，通過圖形解決相應的數字問題。

例1：函數f（x）已知滿足f（x+1）=f（x-1），而f（x）=x?時x [-1，1]的條件，那么方程式f（x）=1gx的解為（D）。

A、7；B、5；C、10；D、9

探討：函數f（x）的周期和值域分別為2和[0，1]，而f（x）=1gx，故x [0，10]，將兩個函數圖形畫出來，其相互交叉的點則為解，詳細可見下方函數圖形。

如果解題過程中遇到三角、指數、根式等復雜函數方程解個數的討論，以兩個熟悉的函數表達式來替代方程式兩邊的代數式，并將兩個函數圖形在同一坐標系上畫出來，其相互交叉的點便是方程式解的個數，這種解題方法是最基本也是最簡易的。

例2：方程x?-4|x|+5-m=0的實數解恰有不同的4個，能否求出實數m取值的范圍？本題最終求得為5>m>1。

探討：假設函數y1=x?-4|x|+5且函數y2=m，那么函數y1和函數y2相互交叉的橫坐標點即方程x?-4|x|+5=m的實數解，而與這兩個函數圖形相互對應的交點共有4個，也就是說方程x?-4|x|+5=m的實數解共計不同的4個，如下圖兩個函數圖形在同一直角坐標系中，可見5>m>1為實數m最終求出的取值范圍。

函數圖形的升降與函數單調性呈正相關；函數圖形的對稱性又與奇偶性相互聯系；函數圖形最高和最低點的縱坐標則可解決最值即值域的問題。

二、幾何教學中的數形結合應用

高中數學教學中幾何教學一直是重難點，特別是其中解析幾何教學，但從數形結合角度來看，坐標圖形與解析幾何之間有著極為密切的聯系，實際上坐標法在解析幾何研究中，就是將代數語言視作基礎，通過幾何元素的運用來進行分析，達到解決其問題的目的。

例3：針對判定同一平面內兩條直線位置間的關系，應用數形結合方法進行教學。已知在同一平面內兩條直線AB和PQ，其中Q（0，-1），A（2，3），P（1，0），B（-1，0），嘗試對兩條直線PQ和AB位置關系進行判定。

而本題中，數形結合畫圖解答法相比直線方程解答法更加便捷快速，其基本不會出現較大誤差。教師要在已知兩條直線坐標的條件下，引導學生將坐標圖畫出來，對兩條直線進行直觀的觀察，然后再對其中屬于平行的位置關系作出判斷。但要注意必須確保答案的準確性，為此教師還應該教會學生如何驗證答案。一般可采取斜率關系計算式： ， ，由于KAB與KPQ相等，故兩條直線AB和PQ相互平行。

但其中需要注意一點，判斷兩條直線位置關系教學中，教師必須堅持嚴謹無誤的教學原則，囑咐學生解答同類題目時多加驗證，充分體現出數與形相互補充的作用。雖然此題可采取方程解答法，卻相對較為復雜，若有多種解法，則以簡便小誤差的數形結合解答法為首選，特別是數學考試過程中更應如此。

三、數學教學中數形互變的應用

數學中“數形互變”主要是指數與形的相互變換，而非單一的“形變數”或“數變形”，其不但要由嚴密的“數”聯系直觀的“形”，更要由直觀的“形”變為嚴密的“數”。也就是說解決這類問題必須同時立足于已知和結論，找出其內在數形互變的關系并進行認真分析，通常看數思形、見形想數是最基本的方法，即結合形化數和數變形。

例4：直線 ：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m R），圓C：（x-1）?+（y-1）?=25，為已知條件。①針對m不同的取值，可得直線互不相同，那么圓截得的這些直線中弦長有無大小值之分？若有該如何求出最值與其相應直線方程？②判斷兩者之間的位置關系？

探討：關于兩者間位置關系判斷的方法共計三種。1）方程組解答法，對判別式0與△大小的判斷；2）比較半徑r與圓心到直線 距離的大小關系；3）

（下轉第87頁）