巧用數形結合思想 妙解初中數學問題

蘇曉陽

摘 要：數形結合思想是數學學科的基本思想之一，也是最基本的一種數學思維方式。數形結合思想對于提升初中數學教學效率、培養學生的數學思維方式具有重要作用。在運用數形結合思想時，要將代數語言準確地轉化為幾何圖形，才能保證結果的正確性。

關鍵詞：初中數學；數形結合思想；有效應用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）02-065-02

所謂的數形結合就是將數學問題中的“數”與“形”有效的結合在一起來解決問題，也是能夠將抽象知識形象化的一種重要的數學思想。而數形結合思想作為四大基本思想之一，對提高學生的問題解題能力有著事半功倍的效果。

一、數與代數中的數形結合

這部分內容與原教學大綱比，數形結合的內容有很大改變和加強。它重視滲透和揭示基本的數學思想方法，加強數學內部的聯系及其相關學科的聯系，在數與代數的教學里，我認為，應該抓住實數與樹軸上的點一一對應的關系，有序實數對與坐標平面上的點的一一對應關系，從數形結合的角度出發，借助數軸處理好相反數和絕對值的意義，有理數大小的比較，有理數的分類，有理數的加法運算，不等式的解集在數軸上的表示等。教師要賦予這些系統內容新的活力，采用符合課標理念的教法，在吃透新課程標準和教材的基礎上，讓學生經歷試驗、探索的過程，體驗如何用數形結合思想分析和解決，培養學生學習和應用的能力，從而激發其學習數學的原動力。

例1 圖形隱含條件：

例：在數軸上的位置如圖，化簡：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。

解：∵b<0，c<0，b>c，a>b，|c|>|a|∴a-b>0，b-c>0，a+c<0。|a-b|-|b-c|+2|a+c|=（a-b）-（b-c）-2（a+c）=-a-2b-c。

二、“空間與圖形”中的數形結合

新課程中的幾何內容做了較大的刪改，削弱了以演繹推理為主要形式的定理證明，降低了論證過程形式化的要求和證明的難度。我想，這無疑給了教師充分脫脂的空間。教師要把握好數學思想方法在整個教學發展中的地位，對于“數形結合”，教師要善于挖掘教材和生活中的素材，從形到數，揭示“形”中“數”的本質。

例2如圖1，是連接在一起的兩個正方形， 大正方形的邊長是小正方形邊長的2倍，問： 若只許剪兩刀， 應如何裁剪， 使之能拼成一個新的大正方形？

圖1 圖2

解析：對這一問題， 學生往往采取實驗的方法， 這里裁一刀， 那里試一剪， 但卻極少有人能在短時間內拼湊好. 如果對題目認真加以分析， 我們不難發現， 從已知到結論，圖形雖然變了， 但其中卻還有沒變的東西：面積. 若設小正方形的面積為1則其邊長就是1.這樣一來， 我們僅需沿著圖中長為 的線段去考慮裁剪即可，而圖中這樣的線段沒有幾條， 于是很快就能找到答案（ 如圖2）。

問題之所以能很快解決，關鍵是我們從問題“變”中看到了“不變”，從“形”的表面找到了“數”這一實質。一個似乎是純幾何的問題，在“數”的引導下獲得了最好的解決方式，這種由表及里，形中有數的思想方法，正是數學中“數形結合”的思想方法。

三、“統計與概率”中的數形結合

新課標中的統計與概率，在內部編排和內容要求上卻有所加強，真正讓學生經歷統計的全過程，發現并提出問題，運用適當的方法，收集和整理數據，運用合適的統計表統計圖來展示數據做出決策。

例3：在一個不透明的袋子里裝有除數字以外其它均相同的4個小球，上面分別標有數字1、2、3、4.一人先從袋中隨機摸出一個小球，另一人再從袋中剩下的3個小球中隨機摸出一個小球，用樹狀圖列出挑選的概率。

從樹狀圖可以看出所有可能結果共有12種，且每種結果發生的可能性相同，符合條件的結果有8種，∴P（和為奇數）

四、應用題中的數形結合

甲、乙兩地相距23千米，A從甲地到乙地，在乙地停留20分鐘后，又從乙地回到甲地；B從乙地到甲地，在甲地停留30分鐘后，又從甲地返回到乙地，若A、B同時從甲、乙兩地出發，經過5小時后，在他們各自返回的路上相遇，如果A的速度比B的速度快3千米/小時，求兩人的速度。

分析：這是一道已知條件十分復雜的應用題，將數與形結合，借助圖形來分析，就直觀、清楚多了。A、B所走的路程可用下圖表示：從圖中可清楚地看到，A、B兩人從出發到最后相遇正好共走完了甲、乙兩地間距離的3倍，即等量關系為：A走的路程 + B走的路程 =23×3。如果設B每小時走X千米，則A每小時走X+3千米，由于兩人途中都停留了一段時間，A實際走 小時，B實際走 小時，由此就不難列出方程： ，

得出 ， （下轉第68頁）