高效超分辨波達方向估計算法綜述

閆鋒剛, 沈　毅, 劉　帥, 金　銘, 喬曉林

(1. 哈爾濱工業大學(威海)信息與電氣工程學院, 山東 威海 264209;

2. 哈爾濱工業大學航天學院,黑龍江 哈爾濱 150001)

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高效超分辨波達方向估計算法綜述

閆鋒剛1, 沈毅2, 劉帥1, 金銘1, 喬曉林1

(1. 哈爾濱工業大學(威海)信息與電氣工程學院, 山東 威海 264209;

2. 哈爾濱工業大學航天學院,黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要：高效超分辨波達方向估計算法致力于降低超分辨算法的計算量、節約系統的實現成本、弱化算法對于陣列結構的依賴性,是推進超分辨理論工程化的一個重要研究課題。從多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法的原理和構成要素入手,以基于MUSIC派生高效超分辨算法的目的和方法為標準,將現存高效超分辨算法劃分為實值運算、波束域變換、快速子空間估計、快速峰值搜索和免峰值搜索5大類。在此基礎上,全面回顧總結了各類高效算法的發展歷程和最新進展,對比分析了它們的主要優缺點。最后,結合空間譜估計實際工程化的應用需求,指出了高效超分辨算法的未來發展趨勢。

關鍵詞：高效超分辨算法; 實值運算; 波束域變換; 快速子空間估計; 快速峰值搜索; 免峰值搜索

0引言

波達方向(direction of arrival, DOA)估計是陣列信號處理的重要研究課題之一[1]。自20世紀70年代至今,該技術經歷了一個繁榮的發展階段,取得了輝煌的研究成果。1986年,美國學者Schmidt提出了著名的多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[2],實現了傳統空間譜估計向超分辨測向的飛躍,成為空間譜估計發展歷史上的一個重要里程碑。

然而隨著應用的深入,人們發現以MUSIC為代表的超分辨算法在實際應用中普遍存在穩健性差[3]、計算量大[4]、對陣列結構依賴性強[5]等缺陷。這些缺陷與超分辨近乎完美的理論性能形成了鮮明對比,促使空間譜估計研究熱點由最初對算法性能的不懈追求逐漸轉向為對超分辨理論實際工程化的研究,而高效超分辨算法則是這其中的一個重要研究方向。

高效超分辨算法致力于降低傳統算法的計算量、節約系統的實現成本、弱化超分辨理論對陣列結構等外界輸入條件的依賴性,是推進超分辨理論工程化的重要環節。由于MUSIC算法開創了超分辨DOA估計的先河,本文從基于MUSIC派生超分辨算法的角度入手,將現存高效超分辨算法劃分為實值運算、波束域變換、快速子空間分解、快速峰值搜索和免峰值搜索5大類別。在此基礎上,全面總結各類高效算法的興起、發展和最新研究進展,同時深入對比分析它們的優缺點。最后,結合實際工程化的應用需求,指出高效超分辨算法的未來發展趨勢。

1數據模型及MUSIC算法

1.1典型一維數據模型

不失一般性,本文以一維數據模型為例展開論述,相關推導和結論可直接擴展到二維情形。

常用典型一維DOA估計數據模型可表示為

(1)

式中,N為快拍數;x(t)∈CM×1,s(t)∈CL×1及n(t)∈CM×1分別是接收數據、入射信號及高斯白噪聲向量；A(θ)[a(θ1),a(θ2),…,a(θL)]∈CM×L是導向矢量矩陣且導向矢量a(θ)定義為

(2)

陣列接收數據協方差矩陣定義為

(3)

式中,S為信號協方差矩陣;σ2為高斯白噪聲功率。對R進行特征值分解,可得

(4)

式中,λi(i=1,…,L)和λj(j=L+1,…,M)分別為R的L個大特征值及M-L個小特征值；ei和ej分別為λi和λj對應的特征矢量。定義矩陣

(5)

則Es和En的列分別張成信號子空間和噪聲子空間?？梢宰C明[2]:span(Es)⊥span(En)且span(Es)=span(A)。實際應用中,理想R無法獲得,可以用N快拍數據對其進行估計，即

(6)

1.2MUSIC算法

根據信號子空間與噪聲子空間的正交性可知,在信號入射方向θ,有aH(θ)En=0。由此,可構造MUSIC空間譜函數

(7)

在[-π/2,π/2]內搜索,使fMUSIC(θ)出現極大值的入射角θ即為信號DOA,這就是MUSIC算法。

MUSIC的提出開創了超分辨DOA估計的嶄新時代,掀起了世界眾多學者對于超分辨空間譜估計的研究熱潮,成為了空間譜發展歷史上的一個重要里程碑。

雖然MUSIC實現了真正的超分辨測角,但其計算量通常很大。龐大的計算量使超分辨理論在實際工程、尤其是對實時性要求較高的工程中的應用變得異常困難。為了推進超分辨理論的工程化進度,學者們不得不對高效超分辨算法展開研究。

2高效超分辨算法分類

伴隨空間譜估計30余年的發展,高效超分辨算法取得了豐碩的研究成果。為了準確、清晰地認識這些算法的發展歷程和最新進展,本節首先對MUSIC的計算量進行分析,接著對以MUSIC為算法原型、派生高效算法的方法進行歸納分析,最后對現存主流高效超分辨算法進行分類,從而為后文高效超分辨算法分類綜述奠定基礎。

2.1MUSIC計算量分析

2.2基于MUSIC派生高效算法的方法

由于子空間估計和峰值搜索是MUSIC的兩個最主要計算單元,故從計算量構成的角度可得到“MUSIC≈子空間估計+峰值搜索”的近似等式。此等式有利于對以MUSIC為基本算法原型、派生高效算法的方法進行歸納。

由上述等式易見:可通過如下3方面方法實現超分辨算法的高效性:

(2) 降低峰值搜索的計算量。峰值搜索通常是一個多維(包含1維)的參量聯合遍歷過程,因此該類方法的出發點集中在以下3方面:一是降低峰值搜索的維度(如從2維搜索降低到1維搜索);二是壓縮峰值搜索的參量范圍;三是徹底避免峰值搜索。

需要強調的是,上述3類高效化方法雖然來源于對MUSIC計算量的分析,但它們同樣可對其他超分辨算法實現高效性。另外,可以連續使用不同方法實現高效性,如實值旋轉不變子空間(unitaryestimatesignalparameterviarotationalinvariancetechnique,U-ESPRIT)算法先以上述第(2)方面方法避免了峰值搜索,又以第(3)方面方法實現了實值化[8]。

2.3高效超分辨算法分類

根據上述分析,選取MUSIC為基本算法模型,以從MUSIC派生高效超分辨算法的目的(目的層)和方法(方法層)角度入手,對現存高效超分辨算法進行分類和劃分,結果如圖1所示。

圖1　高效超分辨算法分類

圖1中的各類算法相對于MUSIC處理流程的分布關系如圖2所示。由圖2可見:不同類別的算法在實際應用中可能存在交叉。然而,從基于MUSIC派生高效算法的角度對現存高效超分辨算法分類,有利于全面認識高效算法的發展,也有利于對不同機理的算法性能進行對比分析。下文對各類高效算法分別展開綜述。

圖2　5類算法相對于MUSIC流程的分布

3實值運算類高效算法

3.1超分辨算法實值化方法

3.1.1酉變換

酉變換是當來波信號非相干時,對超分辨算法進行實值化的代表性技術,該技術由Huarng和Yeh于1991年首次提出[9]。他們觀察發現:在諸如均勻線陣(uniform linear array, ULA)這樣的中心對稱陣(centro-symmetric array, CSA)中,導向矢量a(θ)具有中心對稱性

(8)

式中,φ(θ)為相位差;J為反對角矩陣。

基于式(8)可以證明:當信號協方差陣RS是一個對角矩陣,即來波信號非相干時,式(3)給出的協方差陣R是一個艾米特中心對稱陣(centro-Hermitianmatrix,CHM)。由此,可對R進行變換

(9)

其中,當M為偶數時,U矩陣定義為

(10a)

當M為奇數時,U矩陣定義為

(10b)

3.1.2前后向平滑

(11)

3.2實值算法研究進展

繼酉變換和FB之后,實值類高效算法得到了世界各國學者的廣泛關注并取得了豐碩的研究成果。

文獻[8]基于CSA提出了U-ESPRIT算法,在降低運算量的同時獲得了優于ESPRIT的估計精度，同時，利用U-ESPRIT解決了非圓信號(若信號s與其任意旋轉sejφ具有相同的一階矩和二階矩則稱s為非圓信號)DOA估計[11]及多維諧波恢復問題[12]。文獻[13]對實值類算法進行了全面、深入的研究，針對U-ESPRIT對DOA估計可能失敗的缺點,提出了基于偽噪聲采樣的改進算法,同時將傳統DOA估計技術(method of direction estimation, MODE)和root-MUSIC實值化,提出了U-MODE[14]和U-root-MUSIC算法[15],還利用理論分析和實測聲納、超聲波數據證實了實值類算法比復值類算法估計性能更好。文獻[16]提出了一種U-ESPRIT頻率估計算法,新算法相比于經典ESPRIT在不犧牲算法精度的同時極大地降低了算法復雜度。文獻[17]利用投影映射建立了z平面上半圓與實值區間[-1,1]的對應關系,進而提出了ULA下的U-root-MUSIC算法。文獻[18-19]基于CSA先后提出了U-MVM算法和實值矩陣束(unitary matrix pencil, U-MP)算法,在降低計算量的同時獲得了更高的測角精度。

近年來,實值類算法的研究熱點正逐漸由不同算法的實值化轉向為算法在具體系統的應用,但相關報道很少。2011年,文獻[20]提出了適用于電控無源陣列天線(electronically steerable parasitic array radiator, ESPAR)的實值U-RD-MUSIC算法。2012年,文獻[21]提出了適用多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)雷達系統的U-MUSIC算法。

一般而言,超分辨算法的復雜度和估計精度是難以調和的一對矛盾,這意味著超高的估計精度是以巨額的計算開銷為代價的。然而,實值類算法實現了低復雜度和高精度的雙贏,因而是高效超分辨發展歷史上具有重要意義的研究成果。然而不幸的是,現存實值類算法幾乎都是基于CSA結構提出的,當陣列不滿足中心對稱時,它們也不再適用,如表1所示。

表1　實值類算法優缺點及發展趨勢

上述分析可見:推導適用于任意陣列的高效實值類算法是高效超分辨領域亟待解決的難題。在此方面,筆者近年來提出了半實值DOA估計的概念[22]。半實值算法可實現與實值算法相同的計算效率,同時能適用于任意陣列結構,為實值算法向任意陣列結構的過渡提供了理論參考。

4波束域變換類高效算法

BS域變換是實現超分辨算法高效性的另一重要方法。需要注意的是,這里所說的BS域變換與自適應波束形成(adaptive beam-forming, ABF)[23]不同。ABF通過對各陣元加權實現空域濾波,而BS域變換通過對接收數據降維實現算法復雜度的降低,其基本原理如圖3所示。其中,x(t)和y(t)分別為ES域天線真實輸出數據和BS域虛擬變換數據,且二者滿足

(12)

式中,B∈CM×T為波束形成矩陣;T為波束數。

由于x(t)∈CM×1,y(t)∈CT×1且T≤M,因此BS域變換能把R陣分解和譜峰搜索的計算量分別從O(M3)和O(JM2)降低到O(T3)和O(JT2)。

圖3　波束域變換基本原理[79]

BS變換最早由美國學者Bienvenu[24]和德國學者Byrne[25]提出。文獻[24]發現在傳統ES域算法前端對陣元輸出數據進行BS變換,能降低超分辨算法對陣元誤差的靈敏度;文獻[25]發現在以EVD為基礎的超分辨方法前端進行BS變換,能得到感興趣區域的穩定DOA估計。

隨后,一些學者嘗試著將高分辨算法運用到BS域。著名學者Lee[26]和Zoltowski[27]分別對ES域MUSIC和root-MUSIC算法進行了研究并分別提出了BS-MUSIC和BS-root-MUSIC算法。近年來,文獻[28，30]分別推導出了適用于MIMO的BS-ESPRIT和BS-WSF算法。文獻[29]用統一的形式分析了這幾種算法的性能,用一個簡單的表達式通過基陣陣列流形和波束形成矩陣等物理量表示了這些算法對方位估計的均方誤差(mean square error, MSE),討論了使方位估計MSE最小的波束形成矩陣B的設計準則。

BS域算法大多都采用了數據降維處理,把原本以陣元數為維數的方位估計問題轉換為以波束數為維數的估計問題。這種維數的降低,是波束域方法運算量下降的基礎。維數的降低本質上使得天線陣觀測的空間區域變小,也使得陣列空間原本完整的輸出數據信息被部分丟棄。因此,BS域算法的估計準確度和精度必然受到影響。

一般而言,BS域算法估計精度與波束數目及位置有關,然而無論怎樣選取波束形成矩陣B,大多數BS域算法的克拉美羅下界(Cramer-Raolowerbound,CRLB)總是不小于ES域算法的CRLB[30]。事實上,為了正確地估計信號入射角,BS域算法通常需要假定待測信源在某個特定的角度分片之內。因而,BS域算法通常需要信號入射角的先驗信息。研究發現:只有當待測信源在先驗已知的入射角度分片內時,BS域算法才具有與ES域算法相同的CRLB[30]。

5快速子空間估計類高效算法

快速子空間估計類算法致力于提高信號子空間或噪聲子空間的估計效率,進而降低超分辨算法的計算量。由于子空間估計常R矩陣分解實現,因此該類方法的出發點要么是以快速算法降低矩陣分解的計算量,要么是選取替代方案徹底避免矩陣分解。

5.1快速矩陣分解類算法

為了降低R分解的計算量,學者們提出了許多快速子空間估計算法,主要包括傳播算子(propagator method, PM)算法[31]、梯度算法[32]、冪迭代算法[33]及由文獻[34]基于Lanczos算子提出的快速子空間分解(fast subspace decomposition, FSD)算法。其中,PM和FSD算法效果最為明顯。PM利用線性運算代替EVD和SVD運算,能夠快速得到子空間分解值,較好地降低了算法的計算量。FSD在大陣元數、小信源數的DOA估計問題中具有非常明顯的計算效率優勢,其復雜度約為

(13)

通常M>L,因此相比于傳統方法O(M3)的計算量,FSD能大幅降低協方差矩陣分解的計算量。

FSD算法的前提是假設R已知,而以接收數據估計R仍需較大計算量,故研究無需R估計的快速子空間估計方法很有意義。為此,文獻[35]利用多級維納濾波器在最小均方意義下得到了Wiener-Hopf方程的最優解,實現了無需R估計的快速子空間估計方法,同時有效降低了R分解的復雜度。

5.2免矩陣分解類算法

為了徹底避免矩陣分解,許多無需矩陣分解的高效算法應運而生。文獻[6]利用二維L型ULA組合陣列,以L型陣列間相關協方差矩陣線性運算估計噪聲子空間,避免了矩陣分解。文獻[36]在最小二乘準則下建立了線性預測方程組,通過求解該方程組的解獲得信號子空間的標準正交基,從而避免了繁雜的矩陣分解運算。理論分析和實驗表結果明,該方法可獲得與MUSIC相當的估計性能。文獻[37]基于ULA的旋轉不變性,提出了一種無需特征值分解的子空間類算法(subspace-basedmethodwithouteigendecomposition,SUMWE)。該算法通過子陣平均和子陣互相關處理,以線性運算快速估計噪聲子空間,同時較好地克服了信號相關對于DOA估計的影響。

免矩陣分解快速子空間估計算法以線性運算代替矩陣EVD或SVD分解迭代過程,大大降低了算法的復雜度。然而不幸的是,此類算法大多建立在特殊的信號或陣列結構假設之上。另外,這類算法通常也只能得到信號子空間或噪聲子空間的近似值,精度相對較差。

一般而言,子空間估計的計算量與陣元數M的平方成正比,譜峰搜索的計算量與空間譜采樣點數J成正比。由于J?M,故子空間估計的計算量遠小于空間譜峰值搜索的計算量。因此,減少或者徹底避免空間譜峰值搜索是實現超分辨算法高效性的關鍵。

6快速搜索類高效算法

快速搜索類算法以降低搜索參量維度、壓縮搜索參量范圍、避免搜索過程等方式實現超分辨算法的高效性。

6.1降維搜索類算法

降維處理類算法多應用于多維參數的聯合估計,其目的是將多維搜索降低為有限個一維搜索,從而降低算法的復雜度。這類算法意義重大,但研究成果十分有限。

文獻[6]基于L型ULA組合陣列,以L型陣列間相關協方差矩陣線性運算估計噪聲子空間,然后基于兩個一維搜索實現高精度二維DOA估計。相比于2D-MUSIC算法,該方法較好地提高了算法在低信噪比和小快拍數下的估計性能。文獻[38]針對MIMO中離開角(directionofdepart,DOD)和DOA聯合估計問題,利用噪聲投影矩陣的可逆性提出了降維MUSIC(reduceddimensionMUSIC,RD-MUSIC)算法,將2D-MUSIC算法中的二維搜索化簡為一次一維搜索,極大地降低了復雜度。隨后,文獻[39]討論了RD-MUSIC算法的角度取值情況,進一步縮小了搜索范圍。文獻[40]針對多通道DOA和到達時間(timeofarrival,TOA)聯合估計問題,提出了基于樹結構的TST-MUSIC算法,將二維搜索轉換為3次一維搜索。在此基礎上,文獻[41]提出了FSF-MUSIC算法,用3次一維搜索解決二維DOA和信號頻率聯合估計問題;文獻[42]同樣基于樹結構思想提出了用于2D-DOA聯合估計的新算法,同時分析了算法的理論性能。

盡管上述幾種不同的降維搜索類算法已在實際應用中提高了DOA估計的效率,但遺憾的是,這些算法均或多或少地對算法的適用情景進行了限定,如表2所示。因此,如何基于一般陣列結構對多維搜索類算法實現降維處理,依然是空間譜估計領域亟待攻克的一個理論難題。

表2　典型降維搜素類算法對比

6.2分片搜索類算法

分片搜索類算法的目的是將多維譜峰搜索的參量范圍從整個參量空間縮小到某一感興趣的小參量分片內,從而有效地降低算法的復雜度。這類算法常需要借助特殊的陣列結構或預知的信號入射角先驗信息。

現存的主流分片搜索類算法主要有兩類,一是基于FFT的改進算法[43];二是基于BS域變換的數據降維處理算法[24-30]。前者依據ULA下陣列輸出的均勻相移性質,先以FFT形成多個波束,初步確定可能的DOA范圍,再利用MUSIC算法在初估計范圍內搜索,最終得到高精度DOA估計值。后者已在前文進行了論述。

近年來,筆者基于參量分片思想提出了全新的高效壓縮譜理論(spectral compression theory, SCT),并發展了一系列高效超分辨DOA估計算法[7,44-47]。相比于FFT改進算法及BS域降維算法,SCT具有無需角度先驗信息、適用任意陣列結構、具有更低噪聲子空間維度、同時適用1D-DOA和2D-DOA估計等諸多優點。

7免搜索類高效算法

免搜索類算法通過徹底避免繁雜的譜峰搜索過程降低算法的計算量,其典型代表即為由文獻[48]提出的旋轉不變子空間(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques, ESPRIT)算法以及由文獻[49]提出的求根MUSIC(root-MUSIC)算法。

7.1旋轉不變子空間類算法

當陣列存在導向矢量分別為A1(θ)和A2(θ)的兩個子陣且A1(θ)和A2(θ)滿足

(14)

所示的旋轉不變性時,即可用ESPRIT避免峰值搜索。與MUSIC不同,ESPRIT是信號子空間類算法,它利用陣列信號子空間之間的旋轉不變特性進行信號參數估計,直接得到信號DOA估計的閉式解,從而降低算法的復雜度[48]。

考慮到ESPRIT仍需對R進行EVD或SVD分解,其計算量依然較大。為了進一步降低ESPRIT子空間估計的復雜度,學者們提出了許多低復雜度改進算法。

國外方面,文獻[50]基于PM算子從陣列接收數據中快速提取噪聲子空間,而文獻[51]通過求解線性最小均方問題獲得了信號子空間基。文獻[52-54]利用R的離散傅里葉變換(discreteFouriertransform,DFT)獲取了信號子空間特征向量。雖然這些方法與ESPRIT相比降低了計算的復雜度,便利了算法的實時處理,然而它們均需要較多的先驗知識,這大大限制了算法的擴展性。

國內方面,文獻[55]利用R的冪估計噪聲子空間,然后對噪聲子空間進行QR分解并使用R估計信源個數。由于利用了QR分解且噪聲子空間矩陣的維度比R的維度更低,因此,新算法降低了復雜度。文獻[56]基于共軛梯度算法和矩陣-向量之間的線性運算方法實現了信號子空間的快速估計。另一方面,文獻[57-58]利用MIMO系統的信號特性,分別基于虛擬陣列和矩陣降維思想提出了高效ESPRIT算法。

ESPRIT及其改進算法相比于MUSIC類算法雖然極大地降低了復雜度,同時在信號頻率估計中表現出了優于MUSIC類算法的性能(見文獻[59]第4.7節),但大多數ESPRIT類算法都是建立在陣列結構的旋轉不變性之上的,因此該類算法的應用范圍相比于MUSIC類算法較小。

7.2多項式求根類算法

root-MUSIC是求根類高效算法的典型代表。雖然是MUSIC在ULA下的推廣,然而理論分析[60]和實驗結果[14]均表明:root-MUSIC的估計精度比MUSIC更優。由于root-MUSIC僅適用于ULA,故將經典root-MUSIC推廣到任意陣陣列結構成為了該類算法的研究熱點。

就目前研究成果而言,在任意陣列結構下借助多項式求根實現快速DOA估計的技術主要有陣列內插(arrayinterpolation,AI)、流形分離(manifoldseparationtechnique,MST)及頻域求根(Fourier-domainrootMUSIC,FD-root-MUSIC),如圖4所示。

圖4　任意陣列求根的主要實現方式

7.2.1陣列內插

AI最早由美國學者Friedlander[61]提出,其基本出發點是通過陣列變換使得任意陣列的導向矢量a(θ)具有范德蒙結構,即

(15)

式中,b1(θ)是具有M1個陣元的虛擬ULA的導向矢量;Ψ1是設計的內插矩陣。由于b1(θ)具有范德蒙結構,故可基于內插后的虛擬ULA,以多項式求根進行DOA估計。

尋求高效、變換誤差小的陣列內插方法是AI技術的研究熱點。文獻[62]針對2D-CA陣列提出了用于2D-DOA估計的新算法。新算法利用兩次陣列內插得到平移不變子陣,然后利用子陣關系得到俯仰角,最后利用一維搜索得到方位角,降低了AI轉換誤差,但計算量有所增加。文獻[63]提出了一種Toeplitz-Introduced變換算法,該算法將NULA轉換為ULA并利用root-MUSIC和ESPRIT估計信號DOA,有效提高了算法的估計性能。文獻[64]根據信源分布的先驗信息,將AI技術與數據降維聯合應用,提出了一種低復雜度DOA估計算法。文獻[65]將圓陣(circular array, CA)轉化為ULA且保持陣元間距為半波長,通過陣列孔徑增加思想提出了一種內插算法,克服了傳統變換方法將CA轉換為ULA時分辨率不高的缺點。

7.2.2流形分離

MST是近年來出現的另一種將求根類算法推到任意陣列結構的新方法。該方法由意大利青年學者Belloni[66]提出,其基本思想來源于20世紀90年代末產生的波形建模公式[67]。MST基本觀點是將任意陣列導向矢量a(θ)近似分裂成兩個獨立部分的乘積

(16)

式中,Ψ2只與陣列結構參數有關；b2(θ)僅與信號DOA有關且可等效為一個具有M2個陣元的虛擬ULA的導向矢量。因此,b2(θ)與信號DOA有關且具有范德蒙結構。由于信號DOA包含于具有范德蒙結構的b2(θ)之中,故可利用該部分以多項式求根估計DOA。

與AI相比,MST無需進行角度區間分割,故其變換誤差更小。另外,MST的所有信號處理均是在ES域進行的,這避免了BS域變換與生俱來的映射誤差。然而,MST為了達到足夠精度,需對陣列流形互耦、天線誤差、陣元取向和陣元位置等非理想因素進行校正。與AI相似,MST在得到近似多項式后,基于root-MUSIC估計信號DOA的精度與該多項式的階數密切相關。通常,階數M2需按式(17)準則選取以保證足夠估計精度:

M2≈4kQ

(17)

式中,k是信號波數;Q是陣列最大孔徑。大階數M2的選取使得MST常需對遠大于陣元數的多項式求根。例如,對一個16陣元德URA,MST需對階數高達55的多項式求根[68]。因此,MST復雜度改善未必十分明顯。

目前,對MST研究成果較少。國外方面,文獻[69]分析了MST的理論性能,給出了以MST進行DOA估計的“漸進”MSE封閉表達式。文獻[70]提出了基于MST的2D-DOA估計算法,在無需精確已知導向矢量的條件下以多項式求根得到俯仰角和方位角估計值。國內方面,文獻[71]對MST性能進行了全面仿真分析,揭示了MST性能主要取決于信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)和模式數的基本事實。文獻[72]將MST采樣矩陣的求取轉化為最小二乘問題,以root-MUSIC算法解決非均勻圓陣(non-uniform CA, NUCA)下的DOA估計問題。文獻[73]將MST和PM綜合,解決了2D-UCA下DOA估計精度因陣元數減少而下降的難題。

7.2.3頻域求根

FD-root-MUSIC由德國學者Rübsamen[68]提出,其利用了如下數學事實:任意陣列結構下的MUSIC空間譜函數fMUSIC(θ)是關于信號入射角θ的周期函數,其周期為2π,即

(18)

眾所周知,任何一個周期函數都可近似表示為無限長度的傅里葉級數。由于傅里葉級數具有范德蒙結構,故可利用多項式求根實現快速DOA估計。FD-root-MUSIC據此將MUSIC空間譜表示為無限長度的傅里葉級數,然后基于一定準則對該級數進行如式(19)所示的截斷。

(19)

式中,系數Fm可通過數據填充和FFT求解得到。

業已證明:在相同截斷長度下,即M2=M3時,FD-root-MUSIC具有比MST更好的估計精度[68]。由于FD-root-MUSIC對無限長傅里葉級數進行了有限截斷,因此該級數的階數通常需要取值很大以保證足夠的近似精度,而高階多項式求根復雜度依然很高。為了克服該缺點,文獻[74]基于傅里葉級數的勞倫結構對FD-root-MUSIC進行了改進,新算法在保持估計精度不下降的同時,降低了多項式的求根階數,減少了算法的復雜度。目前,尚未見FD-root-MUSIC算法在2D-DOA估計中的研究報道。

除root-MUSIC之外,求根類算法還包括root-WSF[75]、root-SUMWE[76]、root-MNM[77]以及root-Capon[78]等,由于這類算法的原型都是針對ULA提出的,因此,可用AI和MST技術來對這些算法的適用陣形進行擴展。

需要強調的是:求根類DOA估計算法常以迭代方法求解多項式的根,因此該類算法的計算效率會受求根多項式階數(由陣元數決定)的顯著影響,如圖5所示。仿真平臺及仿真條件如下：Intel(R) Core(TM)2 Duo CPU, 2 GHz, 1 GB內存,半波長ULA,快拍數100,信噪比10 dB,信號DOA為30°和50°,MUSIC譜峰值搜索步長為0.005 3°。

圖5　仿真時間與陣元數關系

由圖5可見，當陣元數較大時,相比于搜索類算法,求根類算法的計算效率未必突出。因此,對于root-MUSIC、root-MNM、root-WSF等經典求根算法以及A1、MST、FD-root-MUSIC等新型技術,它們在工程應用中均會面臨如何快速求根的問題。因此,根據空間譜估計的具體理論模型和應用背景,研究適合于快速DOA估計的求根類算法的“實現”方法,是目前亟待解決的一個理論問題。

8典型算法仿真分析

本節對上述5類高效超分辨算法中具有代表性的典型算法進行計算機仿真分析和對比。由于這5類算法都具有超分辨性能和高計算效率,因此實驗重點考察和對比分析各類算法的估計性能和計算效率。

實驗選取的典型算法為:實值運算類算法U-MUSIC[9]、波束域變換類算法BS-MUSIC[26]、快速子空間估計類算法SUMWE-MUSIC(先以SUMWE估計噪聲子空間,后以MUSIC估計DOA)[37]、快速峰值搜索類算法C-MUSIC[45]和免峰值搜索類算法ESPRIT[48]。其中,BS-MUSIC角度變換區域為20°~40°,波束數為T=6,波束形成矩陣B按BS5方法計算(詳見文獻[79]第4.4.1節)。C-MUSIC壓縮倍數為β=2。各仿真結果均為1 000次Monte-Carlo統計均值。

8.1不同算法的估計性能對比

圖6給出了利用6種高效算法進行DOA估計的MSE值隨SNR的變化對比曲線。為了強化比較,實驗同時引入MUSIC[2]和無限制CRLB[80]作為性能參考。實驗參數設置如下：12陣元半波長ULA,快拍數為200,信號數為2,DOA為30°和50°。譜搜索步長0.005 3°。

圖6　估計精度與信噪比關系

由圖6可見:

(1) 6種算法中,U-MUSIC估計精度最高,其在低信噪比下也表現出非常接近于CRLB的估計性能。事實上,類似結論已從同類超分辨算法的復值版本和實值版本比較中獲得[8-9,14-15]。因此,實值類算法實現了計算高效性和估計高精度的雙贏[22]。

(2) ESPRIT的估計精度均差于其他5類算法?？紤]到ESPRIT相比于搜索類算法避免了峰值搜索,相比于求根類算法避免了高階多項式求根,故ESPRIT是5類快速算法中以精度換取低復雜度最為高效的一種算法[22,45,48]。

(3) BS-MUSIC、SUMWE-MUSIC和C-MUSIC的精度相當且接近于MUSIC。隨著SNR提高,3種高效算法的MSE均趨向于CRLB,故這3類高效算法在降低計算量的同時,未引起估計精度的過大犧牲[26-27,45,79]。

8.2不同算法的計算效率對比

圖7給出了6種算法的仿真時間隨陣元數的變化關系。仿真平臺及仿真條件如下：Intel(R) Core(TM)2 Duo CPU, 2 GHz, 1 GB內存,ULA,快拍數200,信噪比10 dB,信號DOA為30°和50°,搜索類算法搜索范圍20°~40°,搜索步長0.005 3°。

圖7　仿真時間與陣元數關系

由圖7可見:

(1) 5種高效算法相比于MUSIC均大幅提高了算法的計算效率。當陣元數較大時,這種計算效率優勢越發明顯；

(2) 由于徹底避免了峰值搜索[47],ESPRIT相比于其他5類搜索類算法表現出最為明顯的計算效率優勢；

(3) U-MUSIC借助實值變換減少了約75%計算量[9],其計算效率在5種搜索類算法中最高；

(4) C-MUSIC將搜索范圍進行了β倍壓縮且相比于其他5類搜索類算法降低了噪聲子空間的維度[45],故其表現出僅次于U-MUSIC的計算效率[22]；

(5) BS-MUSIC和SUMWE-MUSIC分別降低了數據的維度和子空間估計的計算量,但未減少峰值搜索范圍[26,37],故二者的計算效率相當并略差于C-MUSIC。

由上述仿真分析可見:大多數高效超分辨算法在降低算法計算量的同時,較好保持甚至提高了算法的估計性能。然而需要注意的是,相比于經典MUSIC,這些高效算法或多或少地引入了一定的假設條件。例如,U-MUSIC等實值運算類算法需要陣列滿足中心對稱性,BS-MUSIC等波束域變換變換類算法需假定待估計DOA位于特定角度區域之內,SUMWE等快速子空間估計類算法依賴于陣列結構的旋轉不變性;C-MUSIC等快速搜索類算法對陣元數有更強限制(M>βL)[45]。因此,在工程應用中,應根據實際條件靈活選擇各類高效算法。

9結束語

空間譜估計技術經過了近30年的蓬勃發展,已經取得了異常輝煌的研究成果,然而實際工程化的不斷深入使得學者們不得不將研究的重心由最初對算法性能的無限追求不斷轉化到算法在實際工程應用中的落實中來。因此,如何在復雜環境中快速、有效地進行多源信號測向仍是目前亟待解決的一大難題。

本文全面回顧總結了高效超分辨算法的發展歷史和最新進展,分析對比了實值運算、波束域變換、多項式求根及子空間4大類高效超分辨算法的優缺點?；谏鲜龇治霾浑y看出,在超分辨算法的高效性方面仍有以下問題亟待學者們深入研究:

(1) 任意陣列結構下的降維搜索類算法。在許多實際應用中,常會以計算量龐大的多維空間搜索聯合估計入射信號的頻率、極化、DOA、TOA等參數。雖然近年來產生了一些降維搜索類算法,但其或多或少地對陣列結構進行了限定。近年來,筆者提出了壓縮譜理論,較好地解決了任意陣列結構下的高效超分辨DOA估計問題,但其相比于降維搜索算法的高效性仍有一定距離。因此,適用于任意陣列結構的降維搜索算法是超分辨領域亟待攻克的一個理論難題。

(2) 任意陣列結構下的實值類算法。實值類算法相比于復值類算法實現了低復雜度和高精度的雙重收益,然而現存的實值算法幾乎都是基于CSA結構提出的,這極大地限制了實值類算法的應用范圍。近年來,筆者提出了適用于任意陣列結構的半實值類超分辨算法,在實值化算法的陣列結構普適性方面邁出了過渡性的一步,但目前仍未見任意陣列結構下的實值類算法報道,因此該方面工作仍然需要深入研究。

(3) 求根類算法的實際工程化。在實際工程中,常常需借助迭代算法求解多項式的根,進而估計信號DOA。因此,求根類算法在實際工程應用中必然均會面臨如何快速求根的問題。一般而言,迭代計算因受初值設置和迭代方法的影響常會出現迭代費時、收斂錯誤甚至不收斂的問題。因此,如何根據空間譜估計的具體應用背景,提出高效、穩健的求根類DOA估計算法實現途徑是需要解決的一個實際問題。

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E-mail:shen@hit.edu.cn

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E-mail:hit0987@sohu.com

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E-mail:paulqiao@sohu.com

網絡優先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141229.1543.001.html

Overview of efficient algorithms for super-resolution DOA estimates

YAN Feng-gang1, SHEN Yi2, LIU Shuai1, JIN Ming1, QIAO Xiao-lin1

(1.SchoolofInformationandElectricalEngineering,HarbinInstituteofTechnologyat

Weihai,Weihai264209,China; 2.SchoolofAstronautics,Harbin

InstituteofTechnology,Harbin150001,China)

Abstract:Computationally efficient methods for super-resolution direction of arrival (DOA) estimation aim to reduce the complexity of conventional techniques, to economize on the costs of systems and to enhance the robustness of DOA estimators against array geometries and other environmental restrictions, which has been an important topic in the field. According to the theory and elements of the multiple signal classification (MUSIC) algorithm and the primary derivations from MUSIC, state-of-the-art efficient super-resolution DOA estimators are classified into five different types. These five types of approaches reduce the complexity by real-valued computation, beam-space transformation, fast subspace estimation, rapid spectral search, and no spectral search, respectively. With such a classification, comprehensive overviews of each kind of efficient methods are given and numerical comparisons among these estimators are also conducted to illustrate their advantages. Future development trends of efficient algorithms for super-resolution DOA estimates are finally predicted with basic requirements of real-world applications.

Keywords:efficient super-resolution algorithm; real-valued computation; beam-space transformation; fast subspace estimation; rapid spectral search; no spectral search

作者簡介：

中圖分類號：TN 959.2

文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.07.01

基金項目：山東省自然基金(ZR2014FQ003)；中央高校基本科研業務費專項資金(HIT.NSRIF.2016102);中國博士后科學基金(2015M571414);哈爾濱工業大學(威海)?？茖W研究基金(HIT(WH)201411)資助課題

收稿日期：2014-08-15；修回日期：2014-10-29；網絡優先出版日期：2014-12-29。