基于改進(jìn)PERT的裝備使用保障過程建模分析

李廷鵬, 李　岳, 徐永成, 錢彥嶺

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)裝備綜合保障技術(shù)重點實驗室, 湖南 長沙 410073)

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基于改進(jìn)PERT的裝備使用保障過程建模分析

李廷鵬, 李岳, 徐永成, 錢彥嶺

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)裝備綜合保障技術(shù)重點實驗室, 湖南 長沙 410073)

摘要：計劃評審技術(shù)(program evaluation and review technique,PERT)自提出以來被廣泛用于具有不確定時間參數(shù)項目的分析評估中,但經(jīng)典PERT不能對具有隨機(jī)后續(xù)工序的情況進(jìn)行建模,而且存在時間參數(shù)估計主觀性強(qiáng),估計誤差較大等不足。本文提出在經(jīng)典PERT模型中加入跳轉(zhuǎn)虛工序的方法增強(qiáng)其對隨機(jī)工序的建模能力,并提出了相應(yīng)的分析評估方法。另外,提出了基于德爾菲評估法與專家權(quán)重相結(jié)合并綜合相似工序的歷史數(shù)據(jù)的方法克服經(jīng)典方法在時間參數(shù)確定方面的不足。最后,利用某裝備的使用保障過程PERT建模分析實例驗證了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：計劃評審技術(shù); 德爾菲; 使用保障; 風(fēng)險評估

0引言

計劃評審技術(shù)(program evaluation and review technique, PERT)因其模型直觀、原理簡單、計算方便和可操作性較強(qiáng)的特點經(jīng)常被運用到具有不確定時間參數(shù)項目的進(jìn)度分析和風(fēng)險評估中[1-2]。經(jīng)典PERT能夠?qū)哂写_定性邏輯關(guān)系的對象進(jìn)行建模,但對于具有隨機(jī)邏輯關(guān)系的對象卻顯得無能為力。為了增強(qiáng)PERT的建模能力,提出了跳轉(zhuǎn)虛工序的概念,并在經(jīng)典PERT分析方法的基礎(chǔ)上提出了具有跳轉(zhuǎn)虛工序PERT模型的分析方法。另外,經(jīng)典PERT的時間參數(shù)通常是通過專家評估直接確定的,主觀性強(qiáng),誤差較大,這也是導(dǎo)致估計值比實際值低的一個重要原因。為此,提出了基于德爾菲評估法與專家權(quán)重相結(jié)合并綜合相似工序的歷史數(shù)據(jù)的方法以克服經(jīng)典方法在時間參數(shù)確定方面的不足。最后,詳細(xì)介紹了某裝備使用保障過程的PERT建模分析過程,驗證了該方法的有效性。

1經(jīng)典PERT

PERT是由美國學(xué)者M(jìn)alcolm等在關(guān)鍵路徑分析(critical path method, CPM)基礎(chǔ)上于1958年提出的[3],自提出以來引起了大量學(xué)者的關(guān)注和研究[4-13]。經(jīng)典PERT在解決實際問題中通常要經(jīng)過以下3個步驟:① PERT建模;② 時間參數(shù)計算;③ 模型的求解。

PERT建模的實質(zhì)是建立對象的網(wǎng)絡(luò)圖模型,網(wǎng)絡(luò)圖分為單代號網(wǎng)絡(luò)圖和雙代號網(wǎng)絡(luò)圖[14]。在單代號網(wǎng)絡(luò)圖中,節(jié)點表示工序,箭頭表示工序之間的邏輯關(guān)系。在雙代號網(wǎng)絡(luò)圖中,節(jié)點表示工序的開始和或結(jié)束的狀態(tài),箭頭代表工序。另外,在雙代號網(wǎng)絡(luò)圖中,實線箭頭表示常規(guī)工序(表示具體工作),虛線箭頭表示虛工序(不代表具體工作,只刻畫邏輯關(guān)系)。

1.1時間參數(shù)的計算

與CPM所不同的是,PERT的工序時間參數(shù)由樂觀時間a,悲觀時間b和最可能時間m組成,而且假設(shè)工序時間服從β分布,其概率密度函數(shù)為[15]

(1)

可以證明，PERT某項工作D(i,j)的時間均值和方差可以近似表示為[14]

(2)

(3)

1.1.1工作時間

PERT的工作時間包括最早可能開工時間TES(1,j),最早可能完工時間TEF(i,j),最遲可能開工時間TLS(i,j),最遲可能完工時間TLF(i,j):

(4)

(5)

上式表明,任意工作(i,j)的最早開工時間要由其所有緊前工作(k,i)的最早開工時間決定;其最早完工時間則等于其最早開工時間與工時之和。任一工作(i,j)的最遲開工時間要由其所有緊后工作(j,k)的最遲開工時間決定;其最遲完工時間則等于其最遲開工時間魚工時之和。

1.1.2工作時差

工作時差包括總時差和自由時差。總時差是指在不影響任務(wù)總工期的條件下,某工作(i,j)的開工時間可以延遲的最大幅度,叫做該工作的總時差,記為TF(i,j),有

(6)

自由時差是指在不影響緊后工作最早開工時間條件下,其開工時間可以延遲的最大幅度,記為TF(i,j),則有

(7)

1.2模型的求解

1.2.1求解關(guān)鍵路徑

在PERT網(wǎng)絡(luò)的所有路線中,某一條路線持續(xù)時間長于其他路線持續(xù)時間的概率,大于其他路線持續(xù)時間長于該路線持續(xù)時間的概率,則該條路線稱為關(guān)鍵路線[16],組成關(guān)鍵路徑的工作稱之為關(guān)鍵工作。關(guān)鍵路徑的時間消耗即為整個模型的時間消耗,因此,通過分析關(guān)鍵路徑可以對模型整體進(jìn)行時間預(yù)測和風(fēng)險評估。計算關(guān)鍵路徑主要有3種方法[14]:①搜索從起點到終點的所有路徑并計算時間消耗,最長者為關(guān)鍵路徑;②計算各個工工序的總時差,時差為0的為關(guān)鍵工作,關(guān)鍵工作組成的路徑即為關(guān)鍵路徑;③計算從起點到終點的所有路徑完成任務(wù)的概率,概率最小的為關(guān)鍵路徑。

1.2.2風(fēng)險分析評估

PERT的風(fēng)險評估主要是評估不能按時完成任務(wù)的風(fēng)險。由中心極限定理,當(dāng)工序足夠多,每項工序的工時對整個任務(wù)的總工時影響不大時,總工時近似服從正態(tài)分布。于是,給定工期TZ的按時完工概率為

(8)

式中,μ,σ為根據(jù)公式(2)計算得到的關(guān)鍵路徑的均值和方差;Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布函數(shù)。

2改進(jìn)PERT

經(jīng)典PERT能夠?qū)哂写_定性邏輯關(guān)系的對象具有很好的建模能力,但當(dāng)某項工序的后續(xù)工序具有不確定性時,經(jīng)典PERT就顯得無能為力了。

例如，在某裝備的使用保障過程中,需要對某部件進(jìn)行檢測,如果檢測合格可直接使用,否則必須進(jìn)行維修,維修完成后才能使用。此過程的經(jīng)典PERT模型如圖1所示。

圖1某部件檢測維修過程經(jīng)典PERT模型

圖中,A表示檢測工序,B表示維修工序。分析此模型不難發(fā)現(xiàn)有以下幾點不足:首先,從模型中不能直觀反映出檢測合格不需要維修的情況,因為從狀態(tài)②(檢測完成)到狀態(tài)③(可以使用)只有唯一的一條路徑(維修工序B);其次,即便是為了表示不維修的情況,將工序B的時間參數(shù)中最樂觀值設(shè)定為0,由于需要同時考慮兩種不同的情況,在工程實際中也很難估計出工序B的最悲觀時間和最可能時間;再者,部件是否出現(xiàn)故障是一個隨機(jī)過程,這就導(dǎo)致檢測工序的后續(xù)工序(維修或者不維修)是不確定的且具有一定的發(fā)生概率,經(jīng)典PERT也無法刻畫這一特點。

因此,必須對經(jīng)典PERT模型進(jìn)行改進(jìn),以便能運用到對裝備使用保障過程的分析中。

2.1改進(jìn)PERT建模方法

為了增強(qiáng)經(jīng)典PERT在具有不確定后續(xù)工序條件下的建模能力,本文建議在經(jīng)典PERT模型基礎(chǔ)上加入跳轉(zhuǎn)虛工序。跳轉(zhuǎn)虛工序跟虛工序一樣不消耗時間和資源,是加在常規(guī)工序上的并行工序。跳轉(zhuǎn)工序與對應(yīng)的常規(guī)工序是互斥關(guān)系,每次只能執(zhí)行其中一種。另外跳轉(zhuǎn)虛工序和對應(yīng)的常規(guī)工序都具有發(fā)生概率,且概率和為1。跳轉(zhuǎn)虛工序的圖形化表示為帶箭頭的彎曲虛線,在箭頭的起點處標(biāo)明跳轉(zhuǎn)虛工序發(fā)生的概率。利用跳轉(zhuǎn)虛工序?qū)D1的PERT模型進(jìn)行改進(jìn),結(jié)果如圖2所示。

圖2　某部件檢測維修過程的改進(jìn)PERT模型

圖2中,A,B為常規(guī)工序,N為跳轉(zhuǎn)虛工序。A表示檢測,B表示維修。跳轉(zhuǎn)虛工序N的發(fā)生概率為1-F%,工序B發(fā)生的概率為F%,F%是該部件的故障率。

對比圖1、圖2可以發(fā)現(xiàn):改進(jìn)的PERT模型不僅能直觀的反應(yīng)出檢測工序的兩種可能的后續(xù)工序(維修或者不維修),并且各個后續(xù)工序的時間參數(shù)能利用經(jīng)典PERT方法直接得到。另外，后續(xù)工序發(fā)生的可能性也能通過發(fā)生概率直觀表示。

2.2改進(jìn)時間參數(shù)確定方法

時間參數(shù)是PERT分析評估的基礎(chǔ),參數(shù)的合理性和準(zhǔn)確性對分析結(jié)果的可信度具有決定性作用。在工程實踐中,PERT往往運用于工程方案的論證階段,很難得到真實的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。目前,時間參數(shù)基本上是通過專家評定確定的,傳統(tǒng)的專家評定法完全依賴專家的經(jīng)驗知識,主觀性太強(qiáng),在一定程度上降低了評估結(jié)果的可信度。

為此,提出了基于德爾菲評估法與專家權(quán)重相結(jié)合并綜合相似工序的歷史數(shù)據(jù)的方法克服經(jīng)典方法在時間參數(shù)確定方面的不足。該方法既考慮了專家的主觀意見,也區(qū)分了不同專家對評估結(jié)果的不同貢獻(xiàn)率,同時考慮客觀的歷史數(shù)據(jù),使得評估的時間參數(shù)具有較高的可信度。

2.2.1德爾菲評估法

德爾菲評估法實質(zhì)是多輪的專家評估法,但每次評估后會計算專家的評估值與該整體的平均加權(quán)值的偏差,并建議偏差較大的專家在下一輪評估的時候進(jìn)行改變。通過n次反復(fù)后一般可以得到較為一致的評估值。具體步驟如下:①專家對每個參數(shù)給出評估值;②綜合所有專家的評估值并計算得到平均加權(quán)值;③計算每個專家的評估值與平均值的偏差;④進(jìn)行下一輪評估并建議偏差較大的專家對評估值進(jìn)行調(diào)整;⑤重復(fù)步驟①~步驟④。德爾菲評估可以避免個別專家隨意評估,保證評估數(shù)據(jù)的一致性。

2.2.2時間參數(shù)確定步驟

本文提出的時間參數(shù)確定法綜合了專家的主觀經(jīng)驗知識以及歷史數(shù)據(jù)的客觀規(guī)律,同時考慮了不同專家給出數(shù)據(jù)的可信度的差異。具體步驟如下:

步驟 1運用德爾菲方法得到每個工序的專家評估時間參數(shù)。每個工序的時間參數(shù)都包括樂觀時間,悲觀時間和最可能時間。

步驟 2根據(jù)專家的經(jīng)驗背景和預(yù)評估結(jié)果綜合得到專家的權(quán)重。

預(yù)評估是指給出一個已知時間參數(shù)的工序和必要的其他參數(shù)讓專家評估,比較專家評估值與真實值的差異。但預(yù)評估的結(jié)果會受到很多主客觀因素的影響,不能完全反應(yīng)出專家的評估能力。因此,預(yù)評估的結(jié)果只能作為確定專家權(quán)重的一個參考。需要充分分析專家的歷史經(jīng)驗和背景知識,綜合權(quán)衡出一組合理的權(quán)重系數(shù)。

步驟 3結(jié)合專家權(quán)重和專家評估原始數(shù)據(jù)通過加權(quán)得到評估參數(shù):

(9)

式中,Tk是評估參數(shù);Ti是第i各專家的評估值;qi是i個專家的權(quán)重系數(shù),n為專家數(shù),k代表每項工序的3個時間參數(shù)(樂觀時間a、悲觀時間b和最可能時間m)。

步驟 4收集相似工序真實的歷史時間數(shù)據(jù),并處理得到3個時間參數(shù)。本文提出按照如下原則從歷史數(shù)據(jù)中計算時間參數(shù):

(1) 最可能時間為所有歷史時間的均值:

(10)

(2) 最樂觀時間為歷史數(shù)據(jù)中大于最可能時間Tm的所有數(shù)據(jù)均值:

(11)

(3) 最悲觀時間為歷史數(shù)據(jù)中小于最可能時間Tm的所有數(shù)據(jù)的均值:

(12)

步驟 5綜合專家評估結(jié)果和歷史數(shù)據(jù)得到最終的時間參數(shù)。

專家評估結(jié)果和歷史數(shù)據(jù)計算的結(jié)果從不同方面為時間參數(shù)的確定提供了參考,參考價值的大小應(yīng)該根據(jù)具體情況進(jìn)行分析。例如,歷史工序與待評估的工序相似度非常高且歷史數(shù)據(jù)記錄真實可信,那么歷史數(shù)據(jù)的參考價值就更大些。可以利用權(quán)重區(qū)分各自的參考價值,然后利用加權(quán)的方法得到最終的估計值,如:

Tz=sjTj+slTl

(13)

式中，Tj為專家評估值；Tl為歷史數(shù)據(jù)值；sj為專家評估值權(quán)重；sl為歷史數(shù)據(jù)值權(quán)重,且sj+sl=1,sj>0，sl>0。

2.3改進(jìn)分析評估方法

具有跳轉(zhuǎn)虛工序的PERT模型不僅各個工序的時間是服從β分布隨機(jī)變量,而且工序之間的邏輯關(guān)系也不再是確定的,而是滿足一定概率的隨機(jī)關(guān)系。因此,為了實現(xiàn)對具有跳轉(zhuǎn)虛工序的PERT模型的求解必須研究新的分析方法。

前面提到過,求解關(guān)鍵路徑有3種方法,由于改進(jìn)模型本身具有的隨機(jī)性的特點,只能采用第(2)、第(3)種方法求解。具有跳轉(zhuǎn)虛工序的PERT模型關(guān)鍵路徑的求解關(guān)鍵是如何處理跳轉(zhuǎn)虛工序。為了能夠利用傳統(tǒng)方法求解,最好是能夠?qū)⑻D(zhuǎn)虛工序按照一定的原則轉(zhuǎn)化為常規(guī)工序。本文提出的具體方法如下:

將跳轉(zhuǎn)虛工序的時間參數(shù)按如下公式轉(zhuǎn)化為常規(guī)工序。

(14)

式中,Tt為跳轉(zhuǎn)工序?qū)?yīng)的常規(guī)工序原有的時間參數(shù)(包括最悲觀時間,最可能時間和最樂觀時間);f%為跳轉(zhuǎn)虛工序發(fā)生概率。

這樣將跳轉(zhuǎn)虛工序和對應(yīng)的常規(guī)工序轉(zhuǎn)化為一個常規(guī)工序,再利用傳統(tǒng)方法進(jìn)行分析評估。

3實例分析

3.1建立PERT模型

某裝備的使用保障過程由分解、分段測試、維修、組裝、聯(lián)調(diào)等多個主要工序構(gòu)成。為了對該裝備的使用保障任務(wù)能否按時完成進(jìn)行風(fēng)險評估,以及找出影響使用保障過程總時間的關(guān)鍵環(huán)節(jié)并給出優(yōu)化建議,本文利用改進(jìn)的PERT對該裝備的使用保障過程進(jìn)行了建模分析。首先建立了該裝備使用保障過程的PERT模型,如圖3所示。

圖3　某裝備使用保障過程PERT模型

該裝備的使用保障過程PERT模型總共由15項常規(guī)工序、6個虛工序(G1,G2,G3,G4,G5,G6)和4個跳轉(zhuǎn)虛工序(N1,N2,N3,N4)構(gòu)成。各工序的意義及發(fā)生概率如表1所示。

表1　各工序的意義及發(fā)生概率

表1中,f1%,f2%,f3%,f4%分別為部件1、部件2、部件3、部件4的故障率。根據(jù)部件的可靠性試驗結(jié)果以及對歷史數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析得到部件的故障率如表2所示。

表2　各部件的故障率　%

3.2確定時間參數(shù)

為了較為準(zhǔn)確地估計各個工序的時間參數(shù),邀請3位專家以及6位裝備保障使用保障過程的技術(shù)人員共同組成評估組對15項常規(guī)工序進(jìn)行時間參數(shù)估計。

按照德爾菲原理,首先讓評估人員根據(jù)自己的經(jīng)驗知識對各個工序進(jìn)行時間參數(shù)的估計,經(jīng)過4次交互評價,最終得到滿足德爾菲原理的時間參數(shù)(本文設(shè)定每個評估人員的評估值與均值的誤差不超過10%)。其中工序B(分解)的時間評估結(jié)果如表3所示,時間單位為min。

表3　工序B的專家評估時間參數(shù)詳表　min

傳統(tǒng)的時間參數(shù)確定方法是在專家評價的基礎(chǔ)上進(jìn)行均值化處理,沒有考慮專家之間由于經(jīng)驗知識不同帶來的差異。本文引入專家權(quán)重概念來體現(xiàn)專家對評估結(jié)果應(yīng)具有的不同貢獻(xiàn)率。

專家權(quán)重是通過對專家背景知識和歷史經(jīng)驗的分析以及預(yù)評估情況綜合分析計算得到的。專家權(quán)重如表4所示。

表4　各評估人員權(quán)重　%

按照加權(quán)評估的方式計算工序的時間參數(shù),工序B通過專家評估法得到的時間參數(shù)如表5所示。

表5　工序B專家評估時間參數(shù)　min

相似工序的歷史數(shù)據(jù)可以為時間參數(shù)的確定提供很有價值的參考,同時也能彌補專家評分主觀性太強(qiáng)的不足。通過對相似裝備使用保障過程的分析,找到了工序B類似的歷史數(shù)據(jù),對數(shù)據(jù)進(jìn)行必要處理后得到可供參考的數(shù)據(jù),如表6所示。

表6　工序B類似工序歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計

利用式(10)~式(12)得到的歷史數(shù)據(jù)時間參數(shù)如表7所示。

表7　工序B類似工序歷史時間參數(shù)　min

綜合專家數(shù)據(jù)和歷史數(shù)據(jù)可以得到工序B的最終時間參數(shù),權(quán)重和應(yīng)根據(jù)歷史數(shù)據(jù)的充分性以及參考意義確定,本文考慮到歷史工序與B工序具有較高的相似度,確定sl=0.6,sj=0.4。計算結(jié)果如表8所示。

表8　工序B綜合時間參數(shù)　min

按照以上步驟可以得到所有工序的時間參數(shù),由于篇幅限制,這里不再詳細(xì)說明。具體參數(shù)見表9所示。

表9　某裝備使用保障過程各工序時間參數(shù)　min

3.3分析評估

為了分析裝備使用保障過程中的關(guān)鍵工序,估計按時完成保障任務(wù)的概率,以及對現(xiàn)有保障方案提出優(yōu)化建議,本文在建立使用保障過程PERT模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了關(guān)鍵路徑分析和風(fēng)險評估。

3.3.1關(guān)鍵路徑分析

分析帶有跳轉(zhuǎn)虛工序的PERT模型首先應(yīng)該對跳轉(zhuǎn)虛工序進(jìn)行轉(zhuǎn)化。如圖3的模型中有4個跳轉(zhuǎn)虛工序,按照式(14)轉(zhuǎn)化,結(jié)果如表10所示。

表10　跳轉(zhuǎn)虛工序轉(zhuǎn)化結(jié)果　min

本文通過計算各個工作的自由時間來確定關(guān)鍵路徑,按照式(2)、式(4)、式(5)通過Matlab編程計算得到各工序的自由時間,如表11所示。

表11　各工序自由時間　min

由表11可得到自由時間為0的工序共有6個,因此關(guān)鍵路徑為:B→H→M→G5→O→P。

3.3.2風(fēng)險評估

風(fēng)險評估實質(zhì)是計算在目標(biāo)時間之前完成所有工序的概率,關(guān)鍵路徑是整個模型耗時最長的路徑,因此,整個模型的風(fēng)險評估就轉(zhuǎn)化為計算關(guān)鍵路徑在目前時間前完成的概率。關(guān)鍵路徑均值和方差如表12所示。

表12　關(guān)鍵工序的均值和方差

由公式(2)得到關(guān)鍵路徑的均值和方差分別為μ=127.37,σ=4.77。

裝備的使用保障要求保障過程須在130 min內(nèi)完成,由公式(8)計算得到完成的概率為70.8%,概率較低。因此必須對關(guān)鍵路徑上的工序進(jìn)行壓縮,才能避免較大不能按時完成任務(wù)的風(fēng)險。

4結(jié)論

本文針對經(jīng)典PERT在時間參數(shù)確定上的不足,提出了基于德爾菲評估法與專家權(quán)重相結(jié)合并綜合相似工序的歷史數(shù)據(jù)的方法確定時間參數(shù)。該方法不但考慮了專家的主觀經(jīng)驗知識,體現(xiàn)了不同專家對估計結(jié)果的不同貢獻(xiàn)率,而且充分利用了相似的歷史數(shù)據(jù)的客觀信息。另外,考慮到經(jīng)典PERT模型在表示具有隨機(jī)后續(xù)工序時存在困難,本文提出跳轉(zhuǎn)虛工序的概念,同時給出了分析具有虛工序PERT模型的方法。最后,某裝備的使用保障過程的PERT建模分析驗證了所提理論方法的合理性和實用性。

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李廷鵬(1987-),男,博士研究生,主要研究方向為裝備綜合保障。

E-mail:tovey1987@126.com

李岳(1964-),男,教授,博士研究生導(dǎo)師,主要研究方向為裝備綜合保障。

E-mail:liyue@nudt.edu.cn

徐永成(1971-),男,教授,博士,主要研究方向為裝備綜合保障。

E-mail:ycxu@nudt.edu.cn

錢彥嶺(1976-)男,副教授,博士,主要研究方向為裝備綜合保障。

E-mail:ylqian@nudt.edu.cn

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141030.1136.014.html

Modeling and analysis of operation support progress of

equipment based on improved PERT

LI Ting-peng, LI Yue, XU Yong-cheng, QIAN Yan-ling

(ScienceandTechnologyonIntegratedLogisticsSupportLaboratory,NationalUniversityof

DefenseTechnology,Changsha410073,China)

Abstract:The program evaluation and review technique (PERT) is widely taken into analysis and evaluation of programs which include random time parameters, but the classical PERT is limited in modeling the case including random after working procedure and the method of time parameters evaluation is subjectivity and inaccurate. A jump virtual working procedure concept and its analysis method are proposed to enhance the modeling ability of the classical PERT. Moreover, a new time parameters evaluation theory is presented to improve the reliability of parameters, which combines the Delphi evaluation method with experts’ weight and takes the similar history data into account. Finally, a detaild analysis and evaluation of the operation support process of equipment based on the improved PERT validates the practicability of the proposed method.

Keywords:program evaluation and review technique (PERT); Delphi; operation support; risk evaluation

作者簡介：

中圖分類號：C 931; TH 17

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.07.17

收稿日期：2014-05-15；修回日期：2014-07-29；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014-10-30。