常微分方程范例教學的研究

宋旭霞

（呼倫貝爾學院數學與統計學院 內蒙古 海拉爾 021008）

常微分方程是伴隨著微積分的產生和發展而成長起來的一門歷史悠久的學科，是研究自然科學和社會科學中的事物、物體和現象運動、演化和變化規律的最為基本的數學理論和方法。物理、化學、生物、工程、航空航天、醫學、經濟和金融領域中的許多原理和規律都可以描述成適當的常微分方程，如牛頓的運動定律、萬有引力定律、機械能守恒定律，能量守恒定律、人口發展規律、生態種群競爭、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢、利率的浮動、市場均衡價格的變化等，對這些規律的描述、認識和分析就歸結為對相應的常微分方程描述的數學模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應用于自然科學，而且越來越多的應用于社會科學的各個領域。

常微分方程既是數學分析、高等代數的后續課程，又是泛函分析、數學模型、生物數學、數理方程、微分方程數值解的先修課程。因此，在本科數學教學中， 它占有承上啟下的重要地位。“常微分方程”理論體系嚴謹，抽象程度高，在講授時，只有結合其廣泛的應用背景，才能順應時代要求，以實現培養具有應用能力和創新能力的專業人才的目標。

范例教學是在教學中選擇真正基礎的本質的知識作為教學內容，通過“范例”內容的講授，使學生達到舉一反三、掌握同一類知識的規律的方法。范例教學不僅能提高學生的學習興趣和應用能力， 而且還有助于提高教師的業務水平，是一種重要而有效的教學方式。常微分方程教學范例都是一些成熟的數學模型，這些模型是理論知識和實際問題相結合的經典范例，是通過分析現實事件和運用數學工具建立起來的數學結構．通過常微分方程范例教學能解釋現實的現象，預測未來的發展，進行優化和控制，從而科學地指導社會生活和生產實踐。為了更好地加快教學改革的步伐，我們在常微分方程教學過程中嘗試著引入一些具體的范例，涉及生物數學、 物理學、經濟學等方面，以下是其中的幾個具體范例及其分析。

一、排水問題

一個半徑為Rcm的半球形容器內開始時盛滿了水，但由于其底部一個面積為2Scm的小孔在時刻被打開，水被不斷放出。問：容器中的水被放完總共需要多少時間？

解: 以容器的底部o點為原點，取坐標系如圖1所示。令h(t)為t時刻容器中水的高度，可建立h(t)滿足的微分方程。

這是一個一階可分離變量的微分方程，解得

排水問題是學生比較熟悉的數學問題，通過此問題的引入，可以有效地解答可分離變量的微分方程的實際應用，有利于學生的理解與掌握。

二、熱傳導問題

一根長度為l的細金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一端的溫度恒為T1，另一端溫度恒為為常數，）。若金屬桿橫截面積為A，截面的邊界長度為B，它完全暴露在空氣中，空氣溫度為T3，（為常數），導熱系數為α，試求金屬桿上的溫度分布，（設金屬桿的導熱率為λ）。

解：一般情況下，在同一截面上的各點處溫度也可能不相同，但因金屬桿較細且金屬桿導熱系數又較大，為簡便起見，不考慮這方面的差異，而建模求單變量函數。根據熱傳導原理：

當溫差在一定范圍內時，單位時間里由溫度高的一側向溫度低的一側通過單位面積的熱量與兩側的溫差成正比，比例系數λ與介質有關。

根據假設可知：

dt時間內T(x)通過距離o點x處截面的熱量為：

dt時間內通過距離o點xdx+ 處截面的熱量為：

利用泰勒公式可得

同時，金屬桿的微元向空氣散發出的熱量為：

因系統處于熱平衡狀態，故有：

所以金屬桿各處溫度T(x)滿足的微分方程:

這是一個二階常系數線性方程，方程可化為

先解二階齊次線性方程

從而得到二階齊次線性方程的通解為

再設T*(x)=c為方程（2）的一個特解，代到方程（2.2）中得T3=c

所以方程（2.1）的通解為

熱傳導問題是物理上比較常見的實際問題，通過此問題的分析，可以讓學生切實感受到二階常系數線性方程的實際背景及解決辦法，有利于學生的理解與掌握。

三、新產品市場營銷問題

怎樣才能建立一個數學模型來描述新產品的推銷速度問題，并由此推出一些有用的結果以指導生產，這一直都是經濟學家和社會學家非常關心的問題，下面我們討論一個電視機新產品的銷售模型。

設市場需求量有一個上限，并記此上限為M，記t時刻已銷售出的電視機的數量為x(t) ，則市場中尚未購買的人數大約為，那么根據統計籌算律有與成正比，記比例系數為k，則有

在銷出量小于最大需求量的一半時，銷售速度是不斷增大的，銷出量達到最大需求量的一半時，該產品最為暢銷，接著銷售速度將開始下降。所以初期應采取小批量生產并加以廣告宣傳；從有20%用戶到有80%用戶這段時期，應該大批量生產；后期則應適時轉產，這樣做可以取得較高的經濟效果。

四、Horrod-Domer經濟增長問題

分別設Y、C、I、A為總收入、總消費、引致投資和自發支出（自發消費與自發投資之和），則有總供給等于總需求可知Y=C+I+A

由此可見：

（1）當ρ＞r時，若，則Y(t)有常數增長率ρ；

（2）當ρ＜r，t→∞時，，即自發支出增長過快，擠掉了生產性投資，使總產量銳減，所以自發支出不宜增長過快；

（3）當ρ=r時，

說明當t→ +∞時，，造成生產萎縮。

新產品市場營銷問題和Horrod-Domer經濟增長模型問題都是經濟學中經常討論的實際問題，通過此類問題的分析，可以讓學生切實感受到一階線性方程的應用領域并加強了對Logistic曲線、常數變易法及積分曲線的理解。

五、傳染病問題

假設總人口具有常數輸入率Λ，我們把疾病流行的某市的總人口分為四類；易感類，帶HIV病毒類，已得AIDS類，說服類．分別用表示t時刻易感類、被HIV病毒感染類、已發展成AIDS病人的人口數、說服率。由性傳播的感染率記為β，自然死亡率記為μ，因病死亡率記為α，由帶HIV病毒的發展成AIDS的轉化率記為δ，說服率記為p，由于說服而不與那些高危人群接觸而使AIDS病不再傳播．由以上假設，利用倉室模型的建立方式我們可以建立如下動力學方程來描述這種疾病的傳播過程:

從而有

由此可得：

（1）若R0＜1，系統(5.1) 有無病平衡點，其中

（2）若R0＞1，系統(5.1)存在地方病平衡點

（3）若R0＜1時，無病平衡點是局部漸進穩定的；若R0＞1時，無病平衡點是不穩定的。

（4）若R0＞1時，地方病平衡點是局部漸進穩定的。

傳染病動力學模型是微分方程應用的重要領域，通過講解此模型的建立及其平衡點的穩定性的判斷方法，強化了學生關于微分方程穩定性理論的理解。

通過上述常微分方程教學中實際應用范例的介紹，使學生了解微分方程源于生活實踐又應用于生產實際，學習它的目的是為更好地解決實際問題．由于這些范例具有客觀性、典型性和實用性，所以微分方程范例教學能把生產生活實際與數學理論緊密結合起來，并有利于學生數學思維能力和數學應用能力的提高．