旋流器分離的平衡軌道理論研究

羅建國

(陽泉煤業(集團)有限責任公司 新景礦洗煤廠，山西 陽泉 045000)

旋流器分離的理論學說眾多，比較著名的有湍流兩相流理論、平衡軌道理論、停留時間理論、底流擁擠理論和隨機軌道理論等[1-2]，其中平衡軌道理論是目前發展最成熟、應用最廣泛的理論。該理論最早由Driessen于1951年提出，后經Criner、Kelsall、龐學詩、姚書典等國內外眾多學者的繼承和發展[1-4]，根據分離面位置和形狀選擇的不同，又衍生出許多重要分支，如最大切線速度軌跡面、零軸速包絡面及溢流管等徑圓柱面理論等。平衡軌道理論的核心思想包括[3-4]：①不同粒徑(或密度)的粒子最終將處于各自的平衡軌道面上，該面上的粒子徑向速度和加速度均為零，其僅作旋轉和軸向運動；在徑向上，由中心至器壁，隨著半徑的逐漸增大，粒子的粒徑(或密度)也逐漸增大，當粒子粒徑大于平衡面上旋流器器壁處的粒徑時，受器壁的限制，其只能緊貼器壁。②平衡軌道面上位于旋流器分離基準面以外的粒子，均隨外旋流從底流口排出，反之則隨內旋流從溢流口排出，剛好在分離面上的粒子則等概率的隨底流或溢流排出，該處的粒徑即為分離粒度。

與其它理論學說相比，平衡軌道理論具有物理意義清晰、簡單明了、推導過程易于實現等優點，且由此推導出的分離粒度(也叫切割粒徑)計算數學模型形式簡單、無經驗常數、適應性強、計算方便、預測精度高，因此，其在實踐中獲得了廣泛應用。但該理論也存在部分不足——理論描述過于理想化，將粒子看成完全按精準化分離，沒有考慮停留時間和湍流等因素的影響，有待進一步完善和發展。

1 運動方程的建立

對于旋流器內的粒子運動方程，比較著名的是BBO方程[5]，它同時考慮了離心力、向心浮力、流體曳力、慣性力、視質量力、Basset力的作用，但其比較復雜，在實際應用中受到很大限制。平衡軌道理論的粒子運動方程在BBO方程的基礎進行了簡化，忽略了部分次要力的作用，只保留了前三個主要作用力。假定切向的粒子與流體運動速度相等，并定義由旋流器軸心指向器壁的方向為正方向，則其運動方程為[6-10]:

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：d為粒子的粒徑，m；ρm、ρ分別為粒子和流體的密度，kg/m3；vt、vr、vmr分別為流體的切向和徑向速度、粒子的徑向速度，m/s；r為粒子所處的位置半徑，m；t為粒子在旋流器內的運動時間，s；FD為流體曳力，N；CD為曳力系數；A為粒子在流動垂直方向上的投影面積，m2；Re為雷諾數；μ為流體的動力粘度，Pa·s。

對于球形粒子，則有

A=πd2/4，

(5)

當Re≤0.1時，流體曳力為Stokes阻力，將式(3)-(5)代入式(2)，可得

FD=3πμd(vmr-vr)。

(6)

一般認為，對于粒徑≤1 mm的粒子，其與流體間的相對運動可以近似看成層流狀態，將式(6)代入式(1)，整理后可得

(7)

其中vt、vr可以通過計算機采用CFD軟件求解流體連續性方程和N-S方程得到，但為計算方便，分別以近似經驗式(8)和(9)[4，9]代替，

(8)

(9)

式中：ri、R、ru分別為旋流器的入料口和柱段、底流口半徑，m；vi為旋流器入料口處礦漿流速，m/s；H、h分別為旋流器整體和溢流管長度，m。

在實際操作過程中，不能將式(1)中粒子的徑向速度vmr與其相對于流體的徑向速度(vmr-vr)混淆；上述粒子運動方程的建立忽略了粒子間的相互作用，因此，比較適用于低濃度礦漿的場合，但也有學者認為即使濃度高達28%也能滿足[3]。

2 運動方程的求解

2.1 傳統解法

多數專家學者[6-9，11-16]在對式(7)求解時直接將該式左邊第三、第四項當作常量，按一階非線性常微分方程求解，最終得出的特征解[6-7,9，15](初始條件中t=0、vmr=0)為：

(10)

當t→∞時，其存在最大值，則有

(11)

從式(10)可以看出，盡管在理論上t→∞時vmr才能取得最大值，但實際要達到此值的99%所需的時間僅為毫秒數量級。例如，對于μ=0.001 Pa·s、d=1×10-4m、ρm=2 000 kg/m3的入料，將相關數據代入式(10)可計算出，該粒子只需約5 ms即可達到最大值的99%；即使d=5×10-4m，所需時間也不超過0.13 s。因此，在忽略這段短暫的加速時間后，可以認為在初始階段就有粒子滿足最大沉降速度(即沉降末速)，即任何時間式 (11)都成立。

曹仲文、袁惠新等人[17]通過引入式vmr=dr/dt對式(11)進行積分求解，得出了r與t的關系式；其他研究[18]還通過引入式dvmr/dt=dvmr/dr·vmr，直接對式(7)進行微分變換再求解，但均沒有求解出結果。梁政、任連城等人在得出(11)式后認為[9,15]：粒子在進入旋流器的瞬間即受力平衡而達到沉降末速，在整個沉降過程中徑向合力幾乎處處為零，不存在所謂的徑向合力為零的軌跡面，但存在徑向速度為零的軌跡面。

2.2 作者解法

將式(7)左邊第三、第四項看作常量的傳統解法處理不當，這是離心力場沉降有別于重力場沉降的特殊之處。如果梁政、任連城等人的上述結論成立，則這些粒子都將以沉降末速恒速運動，直至器壁(或中心)，不可能到達各自的平衡軌道面，也就無法有效分離，這與事實嚴重不符；從(11)式也可以看出，vmr所代表的沉降末速是隨r變化的變量，這說明這些粒子并不是一直處于受力平衡狀態。

實際上式(7)是以“粒子”作為參照系進行受力分析得出的，而粒子的徑向速度vmr=dr/dt，即r是與t相關的變量。也就是說，式(7)中實質上隱含了一個vmr=dr/dt的方程，其應該是由這兩者組成的聯立方程組，其等效于如下方程,

(12)

將式(8)、式(9)代入式(12)，整理后可得

(13)

不難看出，式(13)是一個復雜的二階非線性常微分方程，很難甚至不能求得精確解，但可以采用Matlab軟件通過計算機編程求得近似解。所編程序如下：

function solve_odes

clear all;clc

format long

tspan=0∶0.01∶4;%(時間范圍和步長，可以根據需要調整)

r0=[0.037 50];%(粒子初始位置，可以根據需要變換)

[t r]=ode15s(@myodes,tspan,r0);[t r(∶,1) r(∶,2)]

figure(1)

plot(t,r(∶,1),'r-',t,r(∶,2),'b-'),axis([min(tspan)-0.1 max(tspan)+0.1 min(min(r))-0.01 max(max(r))+0.01]),legend('r','drdt')

function dudt=myodes(t,u)

a=***;b=***;c=***;k=***;%(此處a、b、c、d必須根據式(13)代入具體數值)

dudt(1)=u(2);

dudt(2)=-a*u(2)+b*(u(1))^(-2.28)-a*c*(u(1)+k)^(-1);

dudt=dudt';

2.3 分離粒度模型的推導

盡管式(12)很難甚至不能求得精確解，但這并不妨礙人們對平衡軌道理論的應用。事實上，只需使該方程中的dr/dt=0且d2r/dt2=0(或式(7)中的dvmr/dt=0和vmr=0)[19]，即可回避直接求解微分方程的難題，進而得出

(14)

式(14)即為平衡軌道理論中的粒子徑向分布通用數學模型，也是平衡軌道理論核心思想的理論來源；要使粒子按粒徑大小精確分級，各粒子的密度必須接近。由于該式的推導過程不需要直接對微分方程求解，也因為式(11)與式(7)在dvmr/dt=0的條件下所得表達式吻合，導致許多學者在對式(7)方程求解錯誤的情況下仍得出正確的式(14)，從而沒有影響到平衡軌道理論在實踐中的正常應用。

對于式(14)，如果以分離基準面半徑rc代替r，則d就變成了分離粒度d50。但由于不同的學者采用的vt和vr表達式及選擇的分離面形狀和位置等不同，有的還以不同的壓力降(ΔP)計算式代替vi，導致最終推導出的d50計算模型存在很大差異。如將式(8)、式(9)代入式(14)，則可得

(15)

式中:rc為分離基準面位置半徑，m。

從旋流器軸心至器壁的整個區域，流體的vt和vr都分別由多段函數組成，例如vt是由準自由渦和準強制渦共同組成的，兩者的分界線在最大切線速度位置半徑rm處；平衡軌道理論所采用的vt和vr表達式為處于準自由渦區域的函數，也就是說，用來描述粒子粒徑沿徑向分布規律的數學模型(即式(14)和式(15))只適用于rm≤r≤R的區域，而不是0≤r≤R的整個區域。

3 科學性論證

反對平衡軌道理論的學者認為，粒子在旋流器內沒有足夠的停留時間，故其不可能全部到達各自的平衡軌道位置[1]。為此，必須證明對于所有粒子，在理論上都能滿足平衡狀態的條件，即經過一段時間后，粒子的徑向速度和加速度同時為零，且不再發生變化；在有效的停留時間內，絕大多數粒子都可以達到或近似達到平衡狀態。

將計算出的a、b、c、d數值代入編寫的Matlab程序，以求出粒子的運行軌跡。假設以溢流管等徑圓柱面作為旋流器的分離基準面，旋流器的結構、入料性質、操作參數分別為：μ=0.001 Pa·s、ρm=2 000 kg/m3、ρ=1 000 kg/m3、R=0.037 5 m、ri=0.2R、r0=0.35R、L=2R、ru=0.2R、θ=20°、H≈6.5R、h=1.6R、vi=2.5 m/s、d=4×10-5m。將上述數值代入式(13)，可得到a=5 625、b=0.025 6、c=0.000 765、k=0.007 5，然后在Matlab軟件環境下進行計算機模擬，并設定d2r/dt2≈Δ(dr/dt)/Δt，即可得出粒徑0.04 mm的粒子的運動時間與運動路徑、徑向速度與徑向加速度的對應關系(圖1)。同理，可以分別取d=0.02 mm和d=0.01 mm(僅需將程序中a的值分別改為22 500和90 000)，進而得到粒徑為0.02 、0.01 mm的粒子的徑向運動軌跡(圖1)。

對于粒子在旋流器內的平均停留時間，可以近似按式(16)通過計算得出。將上文假設的相關數據代入式(16)，計算出的粒子平均停留時間為1.40 s。

(16)

式中：t′為粒子在旋流器內的平均停留時間，s；L為旋流器的柱段長度，m；r0為旋流器的溢流口半徑，m。

圖1 不同粒子的徑向運動軌跡

由圖1可知：

(1)對于任意粒子，其徑向位移始終向某一點(面)逼近，直至達到平衡狀態；該點(面)即為對應粒徑粒子的平衡軌道面，該位置處的粒子徑向速度和加速度同時為零，且不再變化。

(2)粒子的徑向速度方向和位移方向相同，都是始終指向平衡軌道面；其徑向速度先從零迅速增大到某一值，再在該值附近平緩變化，然后快速下降，在即將接近平衡面時趨于平緩，最后為零且不再變化。

(3)粒子的徑向加速度方向先與徑向速度方向相同，但初始值非常大，隨后瞬間降至與徑向速度值同一數量級水平，接著其趨于零；在方向改變后繼續增加，增大到某一值后逐漸減小，最后與徑向速度同時趨于零且不再變化；在整個運動過程中，粒子兩次通過零點。

(4)粒徑為0.04、0.02、0.01 mm的粒子的平衡軌道面分別位于r=22.90、9.70、4.50 mm處，且從器壁到達各自的平衡軌道面所需的時間分別為4.10、2.60、1.80 s。粒徑為0.02、0.01的粒子的平衡軌道面位于溢流管等徑分離面(r=13.10 mm)以內，兩者最終進入內旋流并從溢流口排出，其分離作用在溢流管壁處已完成，對應的時間分別為1.40、1.10 s，與平均停留時間接近，可以認為滿足平衡軌道理論要求。粒徑為0.04 mm的粒子，其達到平衡軌道面所需的時間明顯大于平均停留時間，故不能滿足平衡軌道理論要求；但該粒子到達距其平衡面0.1R(即3.75 mm)位置(即r=26.65 mm)所需時間為1.5 s，其與平均停留時間較接近，可以認為該粒子處于“準平衡”狀態，即近似滿足平衡軌道理論。

采用部分具有代表性的a、b、c、k值和初始位置(取器壁、中部和靠近溢流管處)進行進一步研究，所得結論與上述結論基本一致。結合上文假設的旋流器結構、操作參數和物料性質，還可計算出d50=0.026 mm，平衡面位置r=13.10 mm，達到平衡狀態所需的時間為2.90 s，到達距其平衡面0.1R位置(r=16.85 mm)所需時間為1.50 s，其接近于平均停留時間，也可以認為這些粒子近似滿足平衡軌道理論。由于這些粒子的初始位置選擇的都是器壁，其達到平衡狀態的時間相對較長；如果這些粒子處于其它位置，其達到平衡狀態所需的時間更少，因此，可以認為絕大多數粒子在旋流器有效停留時間內都能夠達到或近似達到平衡狀態。

4 結論

通過對由離心力、向心浮力、流體曳力三個主要作用力建立的旋流器內部分散相粒子運動方程的分析，認為其并非簡單的一階常微分方程，而是一個復雜的二階非線性常微分方程，很難甚至求解不出精確解，但可以利用Matlab軟件編程通過計算機求出近似解。通過計算機的數值模擬求解，進一步加深和完善了對平衡軌道理論的認識，其核心思想可以概況為以下四點：

(1)平衡軌道理論的“平衡”是指粒子的徑向受力和徑向位置同時處于動態平衡，即粒子的徑向速度和加速度同時趨于零，且不再發生變化，其只做旋轉和軸向運動；該“平衡”不是完全物理意義的精準化平衡，而是“準平衡”，即不能保證所有粒子都處于平衡狀態，但絕大多數粒子在最終分離前都能運動至以各自平衡面為中心，間距為±0.1R的狹窄環形區域面內。

(2)沿著旋流器半徑由中心向器壁，粒子的粒徑(密度)逐漸增大，不同粒徑(密度)的粒子將處于各自的環形區域平衡面內；當粒徑大于平衡軌道處于旋流器器壁的粒子粒徑時，受器壁的限制，其只能緊貼器壁。

(3)每個粒子始終都有向自己的平衡軌道面運動的趨勢，理論上其都能達到平衡狀態，但受粒子在旋流器內停留時間的限制，并不是所有粒子最終都能達到平衡狀態；即便對于同一粒徑的粒子，由于其初始徑向位置不同，到達平衡位置所需的時間也不同，即其運動具有一定的隨機性。

(4)分離基準面應該是一個狹窄的環形區域面，最終位于該面以外的粒子都將隨外旋流從底流口排出，反之則隨內旋流從溢流口排出，剛好處于該面上的粒子則等概率的隨底流或溢流排出，該處的粒徑即為分離粒度。

平衡軌道理論的現實意義不僅僅在于其對粒子運動行為的合理解釋和分離粒度的精確預測，更重要的是其為旋流器結構和操作參數的優化設計等提供了理論指導：該理論所提出的被選粒子按粒徑(密度)大小沿旋流器徑向有序分層排布的思想，可以確保旋流器在理論上獲得最高的床層松散度和最低的錯配物，最終實現最高分離效率和分離精度，這是其它理論學說無法比擬的。

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