磁場(chǎng)中簡(jiǎn)支矩形薄板的非線性穩(wěn)態(tài)隨機(jī)振動(dòng)

第一作者涂建新男，碩士，1977年1月生

通信作者王平男，博士，教授，1965年1月生

磁場(chǎng)中簡(jiǎn)支矩形薄板的非線性穩(wěn)態(tài)隨機(jī)振動(dòng)

涂建新1,王知人1,王平2,3

(1.燕山大學(xué)理學(xué)院，秦皇島066004； 2.燕山大學(xué)建筑工程與力學(xué)學(xué)院，秦皇島066004；3.中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所國(guó)家非線性力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100080)

摘要：根據(jù)電動(dòng)力學(xué)理論、板殼磁彈性理論和結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)理論，導(dǎo)出電磁場(chǎng)中矩形薄板的磁彈性非線性隨機(jī)振動(dòng)方程，然后利用伽遼金法對(duì)四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的非線性隨機(jī)振動(dòng)方程進(jìn)行整理，得到伊藤型狀態(tài)方程；在外界激勵(lì)是平穩(wěn)高斯白噪聲的條件下，利用穩(wěn)態(tài)的FPK方程法求解得到薄板的穩(wěn)態(tài)隨機(jī)振動(dòng)位移和速度響應(yīng)的多個(gè)數(shù)字特征；通過具體數(shù)值算例分析，討論了電磁參數(shù)對(duì)各數(shù)字特征的影響。

關(guān)鍵詞：磁彈性;非線性;隨機(jī)振動(dòng);矩形薄板

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11172024)；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(A2012203140)

收稿日期：2013-12-19修改稿收到日期：2014-04-24

中圖分類號(hào):O326文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Nonlinear stationary random vibration of a rectangular thin plate in a magnetic field

TUJian-xin1,WANGZhi-ren1,WANGPing2,3(1. College of Sciences, Yanshan University, Qinhuangdao 066004，China;2.College of Civil Engineering and Mechanics, Yanshan University, Qinhuangdao 066004，China;3. State Key Laboratory of Nonlinear Continuum Mechanics, Institute of Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100080，China)

Abstract:According to the theory of electrodynamics, the magneto-elastic theory of plates and shells, and the theory of structure’s random vibration, the magneto-elastic nonlinear random vibration equation of a plate simply supported in an electromagnetic field was derived. And then, the nonlinear random vibration equation was changed into an ITO equation using Galerkin method. The statistical characteristics of the displacement and velocity responses of the plate’s stationary random vibration were obtained by using FPK equations method when the external excitation was stationary Gauss white noise. The influences of the parameters of the electromagnetic field on the statistical characteristics were discussed with numerical examples.

Key words:magneto-elasticity; nonlinearity; random vibration; rectangular thin plate

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，在工程實(shí)際中存在很多電磁場(chǎng)與機(jī)械場(chǎng)耦合的非線性振動(dòng)問題，近年來，一些學(xué)者在磁彈性振動(dòng)問題方面的研究做了許多有價(jià)值的工作，也取得了一些有意義的成果。例如，Mol’chenko等[1]給出了磁彈性殼體的非線性方程，并且建立了求解變厚度軸對(duì)稱彈性錐殼方程的方法。Mol’chenko[2]以電磁場(chǎng)中軸對(duì)稱載流環(huán)形彈性薄板為例，考慮到幾何非線性的影響，對(duì)載流板、殼的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)進(jìn)行了研究。周又和、鄭曉靜[3]在電磁固體力學(xué)理論模型、非線性耦合等方面取得了一些新的研究成果。胡宇達(dá)[4]給出了薄板薄殼的磁彈性非線性振動(dòng)基本方程。王平等[5-6]得到了在磁場(chǎng)中通有隨機(jī)電流的導(dǎo)電梁、薄板的磁彈性隨機(jī)振動(dòng)方程，并對(duì)梁、薄板的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了分析。Yang等[7]總結(jié)了磁彈性板殼結(jié)構(gòu)的精細(xì)的研究理論。Hasanyan等[8]研究了處于橫向磁場(chǎng)中有限導(dǎo)電、幾何非線性、各向同性的彈性板帶振動(dòng)行為。Moon等[9]給出了一種在隨機(jī)激勵(lì)下對(duì)復(fù)雜非線性系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)進(jìn)行分析的方法。Chang等[10]應(yīng)用等價(jià)線性法和有限元法對(duì)幾何非線性殼結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)進(jìn)行分析。

目前，關(guān)于磁彈性非線性隨機(jī)振動(dòng)問題的研究還比較少。本文主要研究了磁場(chǎng)中矩形薄板的磁彈性非線性隨機(jī)振動(dòng)問題。利用伽遼金原理和FPK方程法得到薄板隨機(jī)振動(dòng)位移和速度響應(yīng)的多個(gè)數(shù)字特征，并討論了電磁參數(shù)對(duì)各數(shù)字特征的影響。

1磁場(chǎng)中矩形薄板的非線性隨機(jī)振動(dòng)

如圖1所示，建立直角坐標(biāo)系oxyz。薄板處于橫向磁場(chǎng)B0(0,0,B0z)中。對(duì)薄板施以橫向隨機(jī)荷載Pz(x,y,t)。

圖1　磁場(chǎng)中矩形薄板 Fig.1 A rectangular plate in magnetic field

根據(jù)板殼磁彈性理論和結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)理論，可得到電磁場(chǎng)中矩形薄板的磁彈性非線性隨機(jī)振動(dòng)方程[11]為

(1)

四邊簡(jiǎn)支的邊界條件為：

(2)

方程(1)滿足邊界條件的一階主振型解可設(shè)為

(3)

將式(3)代入方程(1)，并利用伽遼金法對(duì)所得式積分化簡(jiǎn)后為

(4)

式中，

(5)

2矩形薄板的穩(wěn)態(tài)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)

以白噪聲激勵(lì)為例，設(shè)橫向激勵(lì)為Pz(x,y,t)=Q(x,y)p(t)(其中，Q(x,y)為某一確定函數(shù)，p(t)為譜密度S0的正態(tài)白噪聲)。

將Pz(x,y,t)=Q(x,y)p(t)代入式(4)、式 (5)中，得：

k1T3(t)=G·p(t)

(6)

(7)

非線性隨機(jī)振動(dòng)方程(6)可化成伊藤型狀態(tài)微分方程[12]：

(8)

式(8)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)FPK方程為：

(9)

式中，ps為狀態(tài)變量Y(t)的概率密度函數(shù)。求解Ps可通過求解如下方程組：

(10)

在外干擾是平穩(wěn)高斯白躁聲條件下[12]，可設(shè)Ps(y1,y2)=ps1(y1)Ps2(y2)，將此式代入式(10)經(jīng)計(jì)算可得

(11)

(12)

ps(y1,y2)=

(13)

由式(11)可得：如果忽略方程(6)中的非線性項(xiàng)，T(t)是平穩(wěn)正態(tài)過程，均值為零、方差為

考慮到方程(6)中的非線性項(xiàng)，則T(t)不是正態(tài)平穩(wěn)過程。將式(11)寫為如下形式：

(14)

(15)

由式(15)可得：T(t)的均值為零，方差為

(16)

再根據(jù)式(3)，得到：矩形薄板速度響應(yīng)的均值為零，方差為

(17)

矩形薄板位移響應(yīng)的均值為零，方差為

我們通過從中心點(diǎn)向外拖動(dòng)的方式創(chuàng)建徑向?yàn)V鏡的調(diào)整范圍。創(chuàng)建調(diào)整圓的時(shí)候按住空格鍵也可以直接更改圓心的位置。按住Shift鍵拖動(dòng)，可以得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正圓形。如果我們選擇工具后直接在畫面上雙擊鼠標(biāo)，就能得到一個(gè)與畫面邊框?qū)R的調(diào)整圓。單擊調(diào)整圓中心筆尖即可選擇該調(diào)整圓。

(18)

3數(shù)值算例

3.1　位移響應(yīng)和速度響應(yīng)的概率密度

圖2　位移響應(yīng)在不同情況下的概率密度 Fig.2 The probability density of displacement response in different magnetic field

圖3　速度響應(yīng)在不同情況下的概率密度 Fig.3 The probability density of velocity response in different magnetic field

由圖2可知，位移響應(yīng)的概率密度具有對(duì)稱性；在同一板厚下，隨著磁場(chǎng)增大，位移響應(yīng)的概率密度越集中、峰值越高，發(fā)生較大位移的概率越小，說明磁場(chǎng)對(duì)薄板隨機(jī)振動(dòng)的位移響應(yīng)起到阻礙作用；板厚對(duì)薄板的隨機(jī)振動(dòng)位移影響較大，在磁場(chǎng)不變的情況下，隨著板厚的增加，發(fā)生較大位移的概率減小。磁場(chǎng)和板厚對(duì)薄板隨機(jī)振動(dòng)的位移響應(yīng)都起到阻礙作用。

由圖3可知，速度的概率密度服從正態(tài)分布，隨著磁場(chǎng)的增大，圖形的峰值越大，且概率分布越來越集中，這說明隨著磁場(chǎng)的增大，速度的較大響應(yīng)發(fā)生的概率越來越小；當(dāng)磁場(chǎng)不變時(shí)，隨著板厚的增加，速度的較大響應(yīng)發(fā)生的概率也越來越小。磁場(chǎng)和板厚對(duì)薄板隨機(jī)振動(dòng)的速度響應(yīng)都起到阻礙作用。

3.2　位移響應(yīng)和速度響應(yīng)的方差

將以上參數(shù)代入式(3)、式(18)、式(17)，可得矩形薄板中心的位移響應(yīng)、速度響應(yīng)的方差，如圖4、圖5所示。

圖4　位移響應(yīng)在不同情況下的位移方差 Fig.4 The variance diagram of displacement response in different magnetic field

由圖4可知：位移響應(yīng)的方差隨激勵(lì)強(qiáng)度的增大而迅速增加；位移響應(yīng)的方差在相同的激勵(lì)強(qiáng)度下隨磁場(chǎng)的增加而迅速減小，當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度達(dá)到一定數(shù)值后，位移方差近似趨于零；位移響應(yīng)方差隨板厚的增大而迅速減小。

圖5　速度響應(yīng)在不同情況下的速度方差 Fig.5 The variance diagram of velocity response in different magnetic field

由圖5可知：速度響應(yīng)的方差也是隨激勵(lì)強(qiáng)度的增大而迅速增大，速度響應(yīng)的方差在相同的激勵(lì)強(qiáng)度下隨磁場(chǎng)的增大而迅速減小，且當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度達(dá)到一定數(shù)值后，速度方差也是近似于零；速度方差隨板厚的增加而迅速減小。

4結(jié)論

針對(duì)四邊簡(jiǎn)支矩形薄板，在外干擾是平穩(wěn)高斯白躁聲條件下，利用穩(wěn)態(tài)FPK方程法研究了薄板的磁彈性非線性穩(wěn)態(tài)隨機(jī)振動(dòng)問題，解出了薄板隨機(jī)振動(dòng)位移響應(yīng)和速度響應(yīng)的概率密度函數(shù)，分析了外加磁場(chǎng)和薄板厚度等參數(shù)的變化對(duì)各統(tǒng)計(jì)量的影響，主要結(jié)論如下：

(2)通過數(shù)值算例，得到了薄板的隨機(jī)振動(dòng)位移響應(yīng)和速度響應(yīng)的概率密度、方差分布，并對(duì)比分析了它們隨不同參數(shù)的變化，得到了相應(yīng)規(guī)律。

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