數(shù)學(xué)建模 回歸生活

稀奇古怪的作業(yè)

張思明，數(shù)學(xué)特級教師，北大附中副校長，曾獲北京市十大杰出青年、全國優(yōu)秀教師等榮譽，摘得我國數(shù)學(xué)教育最高獎——蘇步青數(shù)學(xué)教育獎一等獎桂冠。突破傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，率先建立中學(xué)“數(shù)學(xué)建模”，倡導(dǎo)“讓數(shù)學(xué)回歸生活”，為學(xué)生推開了數(shù)學(xué)通往生活的大門。

一位參觀者曾經(jīng)走進張思明的辦公室，碰上幾個初一年級的數(shù)學(xué)愛好者正在里面對著他剛留的一份“作業(yè)”冥思苦想。參觀者要過“作業(yè)題”看了看，發(fā)現(xiàn)上面竟是一些莫名其妙的東西：“郵票齒孔，開本，卷材，熱水瓶，電腦，電話、手機套餐……”，只好問旁邊一位女生：“張老師給你們留的這是什么題啊？”

這位同學(xué)解釋，郵票那道題，是計算郵票兩個齒孔的間距與轉(zhuǎn)角處圓孔位置的關(guān)系；熱水瓶那道題，是求瓶里水位的高低與熱水瓶保溫效果的關(guān)系；電腦那題，是讓了解中關(guān)村幾種不同CPU的電腦近幾年價格變化的走勢；電話、手機套餐，是研究哪一種收費套餐更適合哪一類的消費群體……

說話間，張思明走了進來，他問幾個同學(xué)：“除了老師出的這幾道題，你們還想到哪些生活中的數(shù)學(xué)例子？”

一個女生思索片刻，仰頭答道：“我發(fā)現(xiàn)，副食店里賣醬油用的提子設(shè)計得不太合理，每次往瓶子里灌醬油，都要灑出一些，造成浪費，我想那個提子可以重新設(shè)計一下……”同學(xué)們說完，他又補充了不少例子，留給大家回去思考：

球鞋的鞋帶有多種系法，哪一種系法用帶最節(jié)省？哪一種系法最快？一頁雜志排版，是通欄裝字多，還是分兩欄裝字多？為讀者閱讀方便又應(yīng)如何設(shè)計？圖書館一本20元的書被盜，應(yīng)對偷書者罰款多少，才能既起到警誡作用，又不失當(dāng)？

學(xué)生散去了，但可以想見，他們下次來交“作業(yè)”的時候，對生活中的數(shù)學(xué)又會有一番新的認識，而今后他們再觀察生活中類似現(xiàn)象時，也會帶著不一樣的目光，而這正是張思明的愿景：“我并不期盼每個學(xué)生都成為數(shù)學(xué)家，但如果通過我的教學(xué)，能使他們有一種在生活和學(xué)習(xí)中應(yīng)用數(shù)學(xué)的思維觀念和習(xí)慣，那他們將終身受益無窮。”

幫保安更科學(xué)地巡邏

把生活、生產(chǎn)和其他學(xué)科中的問題引入數(shù)學(xué)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生通過“數(shù)學(xué)建模”(建立數(shù)學(xué)模型)設(shè)計出解決問題的過程，是張思明經(jīng)常采用的一種手段。“建模”，在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造精神的同時，也培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和實踐能力。

張思明曾經(jīng)讓學(xué)生給自己所在小區(qū)設(shè)計一條最佳郵政投遞路線和一條合理的保安巡邏路線。聽起來，這道題并不復(fù)雜。

他問采訪的記者：“是郵政投遞那條線長，還是保安巡邏的線長？”記者略一思索，答道：“郵政投遞路線長。因為他要送到每個門口。而保安巡邏時站在通道口，用眼睛掃到就行了。”

“對。但實際路線不是那么簡單。還要考慮許多變數(shù)。比如保安巡邏中，到了某一個比較敏感的地段(出過案情，或住著重點監(jiān)視的人)，就要改變常規(guī)路線。”張思明又舉了個例子：“送報員和送奶員，走的路線也不一樣。一個大院有前后門，郵遞員可能從前門進后門出，送奶員就可能再回前門去。因為他的車在外頭。”

學(xué)生們花了很大工夫來做這個案例，幾個同學(xué)組成一組，根據(jù)特長(畫畫、計算、分析、測量等)進行合理分工，然后挨門挨戶實地踏勘自己所在小區(qū)，觀察、收集整理必要的數(shù)據(jù)和信息，畫出小區(qū)平面示意圖，包括樓房位置、門洞朝向、道路情況等，最后勾畫出投遞路線和巡邏路線。有的設(shè)計細到在每個門洞設(shè)感應(yīng)裝置，保安員巡邏到這里，就能從這個裝置接到指令，知道下一步該向左還是向右，剛才有哪些可疑跡象。

讓張思明感到驕傲的是，于顥、陳明卿兩位同學(xué)的《保安巡更路線軟件流程設(shè)計》在全國青少年科技創(chuàng)新大賽上獲得了一等獎。北京市物業(yè)管理商會在組織專家對這兩位同學(xué)的設(shè)計進行評估后，認為“該論文運用數(shù)學(xué)建模思想和概率分布理論所設(shè)計的巡更路線和軟件流程，較好地實現(xiàn)了傳統(tǒng)的靜態(tài)管理向現(xiàn)代動態(tài)管理轉(zhuǎn)化這一科學(xué)的管理思想，具有很強的實用性和商業(yè)價值，對于大型公共物業(yè)，城鎮(zhèn)、城市警務(wù)巡查在內(nèi)的城市管理也有著很高的現(xiàn)實意義。本商會將對其成果的轉(zhuǎn)化和應(yīng)用給予高度關(guān)注”。

還有13組學(xué)生的其他設(shè)計，在北京市青少年科技創(chuàng)新大賽分獲一、二、三等獎，更多同學(xué)的論文在各個專業(yè)報紙雜志刊登。張思明自己也像個學(xué)生一樣，去商店調(diào)查，去銀行咨詢，去工地測量，再上機編程演算，常常會寫下數(shù)萬字的資料筆記和求解報告。

在他看來，數(shù)學(xué)建模最大的作用就是促使學(xué)生改變學(xué)習(xí)方式，也促使教師改變教的方式。因為它是一個活動課程，不只是老師教給學(xué)生一些程序化的知識。學(xué)生解決問題需要的知識，解決問題所用的方法以及所用的工具，全部都是由學(xué)生自主選擇的。比如學(xué)生不會微積分，但是他可以選擇用蒙特卡洛方法，利用隨機過程的隨機性來解決；學(xué)生不會曲線擬合，但他可以用一小段一小段的直線來解決。

實際操作中，學(xué)生解決問題的方法也讓他很驚喜。比如解決廣告效應(yīng)的問題時，學(xué)生不會羅杰斯特曲線，也不知道微分方程，但他們發(fā)現(xiàn)在做化學(xué)實驗加催化劑時，一開始反應(yīng)特別快，再加到一定量時就沒有什么效果了，這跟廣告效應(yīng)的問題很類似，于是就用化學(xué)的動力學(xué)方程解決廣告效應(yīng)問題。“可以說，這種跨學(xué)科解決問題的能力，也只有學(xué)生能夠想得到、做得到。”

老師不總是對的

“以前我想的是，應(yīng)該把什么東西給學(xué)生，以什么方式給學(xué)生？后來我發(fā)覺，這并不一定好。其實我們常常應(yīng)該逆向思維一下，想一想把什么不交給學(xué)生，而讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)？”

張思明從多年教學(xué)實踐中探索出了“導(dǎo)學(xué)探索，自主解決”的教學(xué)模式。它可以通過如下形式來實現(xiàn)：引導(dǎo)與問題的設(shè)置—探索討論后或分解或化歸—自主解決問題—自我評價，練習(xí)小結(jié)—求異、探新，延伸問題鏈—回到第一個環(huán)節(jié)。

在教學(xué)中，他有時甚至有意識地“誤導(dǎo)”學(xué)生，再讓學(xué)生檢錯，找漏洞，從反面加深認識。且看一節(jié)立體幾何課：

問題：最少用幾顆地球同步通信衛(wèi)星，其訊號可以覆蓋整個地球？

站在講臺上的張思明先是自言自語：“我看有兩顆衛(wèi)星就夠了。”很快，學(xué)生們就看出了老師的結(jié)論是錯誤的。

老師讓了一步，語氣肯定地說：“3顆衛(wèi)星一定夠了。”并畫出了圖，這時大多數(shù)學(xué)生支持老師的結(jié)論了。

老師得意地問：“誰還敢有不同意見？”部分學(xué)生的逆反心理被激發(fā)，開始認真地尋找老師的破綻，不一會兒就發(fā)現(xiàn)老師的結(jié)論還是錯的。

“那你們看結(jié)論應(yīng)該是多少顆？”學(xué)生們在老師的鼓勵下，得出了“4顆衛(wèi)星可以滿足題目要求”的結(jié)論。老師脫口說道：“這回不會再錯了吧？”然后翻開一本準備好的《立體幾何解題辭典》，給學(xué)生看，書上這道題的結(jié)論就是如此。

但最后，他又啟發(fā)學(xué)生用自己學(xué)過的其他學(xué)科知識，來考察這個結(jié)果的正確性。學(xué)生們才發(fā)現(xiàn)，他們設(shè)計的“四星”結(jié)果在物理學(xué)上是不能成立的，因為地球同步衛(wèi)星只能定點在地球赤道平面的軌道上。

無疑，這樣一節(jié)課可以培養(yǎng)學(xué)生獨立思考和理論聯(lián)系實際的學(xué)風(fēng)，這樣的學(xué)習(xí)過程可以給學(xué)生許多題外的收獲。

張思明認為，教師的創(chuàng)造性更多地體現(xiàn)為對問題的設(shè)計、環(huán)境的創(chuàng)設(shè)以及引導(dǎo)學(xué)生走向創(chuàng)造的那種創(chuàng)造性，真正的啟發(fā)式不是提問題設(shè)圈套，讓學(xué)生一個一個回答，而是教師自然地創(chuàng)造一種提問題的氛圍，讓全班同學(xué)的腦子都快速地轉(zhuǎn)動起來。而且這種問題環(huán)境并不以課堂為界限，而是一直延伸到課堂外、假期中，以至于學(xué)生的整個生活之中。

比如：多速自行車的速度數(shù)是怎么確定的？請你調(diào)查一下市場上的多速自行車，其速度數(shù)是否和標稱的一樣？十字路口的紅、綠、黃燈的時間比多少才合適？一筆款子怎樣存可以獲得較多的利息？大賓館的多部電梯，當(dāng)客流較大時，怎樣設(shè)計運行方案才合理？

顯然，這樣的作業(yè)題不是坐在教室里或者家里就可以完成的。它常常需要實地的觀察、實驗，需要借助網(wǎng)絡(luò)等課堂之外的東西，需要對信息進行選擇、分析、加工和處理，這是一種研究性的學(xué)習(xí)。

假期來臨，張思明沒有給學(xué)生留一大堆筆頭作業(yè)——每次開學(xué)時學(xué)生交來一堆應(yīng)付差事式的不過腦子的作業(yè)，沒有多大意義。為喚起學(xué)生的主動學(xué)習(xí)意識，給他們提供展現(xiàn)創(chuàng)造力的機會，他把傳統(tǒng)的假期作業(yè)改成8類可供選擇的作業(yè)：

1.閱讀一本科普讀物，寫一個書評；

2.找出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)參考書中的3處非印刷性錯誤，并予以更正；

3.利用立體幾何展開圖的知識，用紙制作模型或工藝品；

4.采集生活中的數(shù)學(xué)問題并試著解決它，如游戲中的數(shù)學(xué)、體育中的數(shù)學(xué)、玩具設(shè)計中的數(shù)學(xué)、商業(yè)服務(wù)中的數(shù)學(xué)……

5.寫一篇數(shù)學(xué)小論文，可以是小發(fā)現(xiàn)、小研究、小成果、小竅門兒……甚至自己的解題失誤談；

6.利用掌握的數(shù)學(xué)知識，自編3個數(shù)學(xué)小綜合題(要求運用幾何、代數(shù)、三角甚至物理、計算機等兩到三科知識)；

7.用計算機自編一個程序，解決某學(xué)科的一個問題；

8.以計算機為工具進行“微科研”，推薦選題有6個。

每個學(xué)期開學(xué)時，都是他和學(xué)生們一個豐盛的收獲節(jié)日。

在張思明看來，未來教師與學(xué)生的關(guān)系可能就是個伴隨關(guān)系：伴隨學(xué)習(xí)，伴隨成長，對學(xué)生也沒太多的信息優(yōu)勢了，只是有些知識老師比學(xué)生早學(xué)了幾天而已。所以教師專業(yè)成長模式就是要帶領(lǐng)學(xué)生去開鑿“一眼泉”，給學(xué)生源源不斷的活水。

他自己的經(jīng)歷也恰好說明了這一點：自學(xué)考試出身，沒有經(jīng)過正規(guī)訓(xùn)練，學(xué)的知識繁雜，但這恰恰促使他把學(xué)習(xí)當(dāng)成一種常態(tài)，能始終和學(xué)生一起去學(xué)習(xí)、去發(fā)展。