一種基于區間分割的時滯系統的鎮定控制

李倩+趙立英+劉賀平

摘要：通過對網絡控制系統的結構分析，建立帶有時滯和不確定性的網絡控制系統的數學模型.在此模型的基礎上，對時滯區間進行分段，通過構造李亞普諾夫泛函，給出矩陣不等式作為使得閉環系統漸進穩定的充分條件，并將此矩陣不等式線性化得到相應的反饋增益矩陣，最后通過數值仿真將時滯上界進行比較來證明此方法的有效性。

關鍵詞：網絡控制系統；時滯；李亞普諾夫函數；穩定性分析；線性矩陣不等式

中圖分類號：TP273 文獻標識碼：A

1引言

網絡控制系統（Networked Control Systems，NCS）是由控制器，傳感器，執行器等部件通過通信網絡連接構成的閉環系統.與傳統的控制系統相比，網絡控制系統具有接線少，成本低，便于安裝和維護等優點.但是由于帶寬有限等原因，各個節點通過網絡在進行數據交換時，常會發生數據碰撞，丟失和重發等現象，出現數據交換時問的延遲.時延會降低系統的性能，甚至使系統失穩.同時，由于系統建模誤差和工作環境的變化等原因，系統存在著結構不確定性.具有網絡時延和不確定性的網絡控制系統的分析和設計是當前研究的熱點問題。

吳敏、何勇對于帶有時變時滯的控制問題，提出了自由權矩陣方法，在原來模型轉換的基礎上大大降低了控制系統的保守性，Lam和Gao又引入了一種新的方法，將時變時滯進行分段，也在原來的基礎上降低了保守性.同時存在時滯和不確定性的網絡控制系統，其性能的分析和研究更加困難，也更加具有實際意義.分析此類網絡控制系統的穩定性條件，并設計時滯和不確定性同時存在情況下的魯棒控制器仍是國內外學者研究的重點內容。

本文針對帶有時滯以及不確定性的網絡控制系統，將時滯區間進行分段，分別構造Lyapunov泛函，利用Jensen不等式進行放縮，得出閉環系統穩定的充分條件，同時解線性矩陣不等式得到狀態反饋增益矩陣K，實現時滯和不確定性背景下的控制器重新設計.最大允許時滯上界往往能反映系統抵御外界干擾的能力，本文給出的條件相比文獻局限性更小，并且本文可實現時滯和不確定性同時存在的情形下的系統鎮定。

2問題描述

2.1模型描述

下面考慮帶有不確定性的時滯系統：

其中x（t）∈Rⁿ，u（t）∈R^m是狀態向量和控制輸入向量.A、B是適當維數的固定矩陣，矩陣△A，△B表示系統中的不確定性，且滿足[△A △B]=DF（t）[E₁ E₂]，其中D，E₁，E₂是適當維數的實常數矩陣，F（t）是Lebesgue可測的未知矩陣函數，滿足F^T（t）F（t）≤I.狀態反饋增益矩陣為K，則有

下面給出系統模型圖，其中τ_sc表示從傳感器到控制器的時滯，τ_ca表示從控制器到執行器問的時滯，τ_c表示控制器本身所產生的時滯，

假設1傳感器是時鐘驅動，控制器與執行器是事件驅動的.

假設2系統中所有信號都是通過時間戳來傳達的.

2.2主要引理

本文研究的目的是引入一種新的時滯依賴穩定性分析方法，來確保系統（3）對于任意的τ（t）都能保證漸進穩定.為了達到此目的，引入下列不等式：

引理1：對于任意固定矩陣M∈R^n×n，M=M^T>0，常數σ>0，狀態函數x：[-σ，0]→Rⁿ，則

引理3：給定適當維數的矩陣Y，D，E，其中y是對稱的，則y+DF（t）E+E^TF（t）^TD^T<0對所有滿足F^T（t）F（t）≤I的矩陣成立，當且僅當存在一個常數ε>0，使得Y+εDD^T+ε^-1E^TE<0。

3主要結果

3.1不含不確定性的情況

令△A=△B=0.通過引進適當類型的Lyapunov-Krasovskii函數，可以得出以下結果.

定理1：對于給定的常數0≤τ₁≤τ₂，則系統（5）漸進穩定.如果存在適當維數的實對稱矩陣P>0，R₁>0，R₂>0，Q₁>0，Q₂>0，Q₃>0，滿足以下矩陣不等式

同理可得V（t）<0，則系統漸進穩定.

Case3：當n≤r（t）≤ζ時，可以得出系統是漸進穩定的。證畢。

該定理需要滿足3個矩陣不等式的條件，文中為了簡便，只給出了一個。下面中的定理類似，但是在數值仿真時，3個條件都需要滿足。

證畢。

以上求解控制器K的方法在文獻中也有體現。

3.2下面考慮帶有不確定性的情況

定理3：給定常數0≤τ₁≤τ₂，不確定系統（3）是漸進穩定的.如果存在實對稱矩陣P>0，R₁>0，R₂>0，Q₁>0，Q₂>0，Q₃>0，K，D，E₁，E₂是適當維數的矩陣，對于一個常數ε>0，有矩陣不等式

4算例仿真

4.1考慮線性時滯系統：

控制器K設計為K=[-3.75 -11.5]，在穩定的前提下，利用matlab軟件得出τ₂的最大上界。

從圖表可以看出，本文提出的定理在一定程度上降低了系統的保守性。

4.2考慮不確定性時滯系統：K=YX^-1=[-0.0019 -0.1037]，當K取定時，所求出的時滯上界為τ₂=0.65。

5結論

本文基于Lyapunov穩定性理論和線性矩陣不等式的方法，研究了同時存在時滯和不確定性的網絡控制系統的穩定性問題，并在此基礎上進行了控制器的重新設計，分不同情況給出了系統漸進穩定的充分條件，并求解了相應的反饋增益矩陣K.同時，通過本文方法，利用線性矩陣不等式，求解出了比以往結果更好的最大允許時滯上界.最后，通過算例仿真驗證了本文分析和設計方法的有效性.