擬動力試驗預測校正積分方法FOM改進及其算例分析

1.廣州市道路養護中心東城養護所 廣州 510520；2.深圳市政設計研究院軌道院 深圳 518000

摘要：子結構擬動力試驗中可以采用預測-校正積分方法（PCM）進行積分計算。在試驗中，當試驗子結構進入彈塑性階段之后，若繼續采用該方法將會產生較大的計算誤差。本文根據多自由度子結構擬動力試驗的方法的特點，引入一種全算子算法（FOM）對擬動力試驗的積分方法進行改進，最后結合算例檢驗該積分方法的有效性。

關鍵詞：擬動力試驗；多自由度；彈塑性分析；積分算法

Abstract：Predicted-Corrected Method（PCM）is usually used for integration of the sub-structural pseudo-dynamic testing.It would achieve less accuracy results，when the testing structure comes into elastic-plastic stage.According to the characteristic of the multiple freedoms sub-structural pseudo-dynamic testing，the author introduce the Full Operator Method（FOM）to improve the integration of the test，and then analysis the efficiency of the FOM by a dynamic testing example.

Keywords：Pseudo-dynamic Test，Multiple freedoms，Elastic-plastic Analysis，Integration Method

1引言

擬動力方法在建筑及橋梁結構抗震試驗中得到廣泛應用，這種試驗方法可以將待求的結構分解成一個或者幾個部分，從而實現“化整為零”，將一個較大型的試驗分為若干個試驗來進行[1，2]。作為一種聯機加載試驗，積分方法在擬動力試驗中是一個很重要的部分，特別是結構進入彈塑性試驗階段后，試驗的每一步進行加載的指令是由計算機積分計算求解而得的，積分方法的使用情況有關系到試驗的成敗[3]。本文根據結構進入彈塑性階段剛度后結構剛度逐步改變的特點，結合Predicted-Corrected Method（PCM）算法在試驗中的應用，引入一種基于BFGS優化算法[4]（擬牛頓方法的一種）演化而來的全算子算法（Full Operator Method，FOM），并以此為基礎對子結構擬動力試驗彈塑性階段的積分計算方法進行改進，以達到更好的試驗精度。最后，采用計算實例進行算例對比，檢驗此改進方法的有效性。

2 FOM算法的提出和應用

2.1 傳統的PCM方法的特點

PCM方法是較為廣泛地應用于子結構擬動力試驗，是混合模擬地震對整體結構的作用的積分方法。該方法有一個很重要的特點就是有效將結構的切線剛度轉化為顯式表示的恢復力向量，即由初始剛度矩陣來代替；因為切線剛度在試驗過程中進行估計通常是比較困難的。

PCM積分方法可以表示為

（1）

預測階段

（2）

（3）

修正階段

（4）

（5）

從以上各式的推演過程可以看出PCM方法是由第i時步的結構試驗反應值來計算得到i+1時步的預測值開始，將預測值位移加載到試驗子結構中，從而得到對應的恢復力測量值，然后測得的恢復力和系統的初始剛度矩陣等信息來計算求得i+1時步的加速度，進而由校正部分的計算公式由值計算得到結構的動力反應值，不斷重復以上計算過程，則可得到整個時程的結構反應。

PCM方法在結構初始剛度大于切線剛度的情況下，這樣在整個試驗的計算過程中是無條件穩定的；然而當該方法應用于剛度硬化效應明顯的結構系統中，則變成條件穩定的方法。當結構進入彈塑性階段之后，PCM方法中由初始剛度來代替切線剛度的假設將會不成立[5，6]，在此情況下所得到的結構地震反應值的精度將會降低，而且積分計算在某些部分出現較大誤差后，對接下來的結構相應影響比較大，抗干擾性比較差。

2.2 FOM方法的計算原理

從上節的討論中可知，傳統的PCM方法在用于計算結構非線性特征方面受到一定的限制，對此情況Hung和El-Tawil[7]提出了一種估計結構切線剛度的方法，該方法是基于擬動力試驗中，結構模型的切線剛度在積分過程中不會明顯改變這一特點，從而得到多自由度體系的整個切線剛度矩陣。通過應用結構的切線剛度矩陣，結構非線性問題可以不用進行迭代計算而得到更為精確的解。

最終要找到一種方法，不僅可以有效得到結構的切線剛度，而且具有良好的自我修正能力，即當出現不太精確的估計切線剛度情況時，該方法能抑制計算結果誤差。采用的FOM方法能滿足以上兩個要求，該方法中所涉及到的估計切線剛度的計算過程在下一節進行闡述。

2.3 FOM方法在子結構擬動力試驗的應用

當使用FOM方法對PCM方法進行改進之后，預測階段的運動方程可以表示為

（6）

由Newmark顯式積分方法[8]的假設可知，若求得則可以求得對應時刻的

（7）

（8）

因此，加載位移所得到的i+1時步的恢復力向量可以近似表示為

（9）

式（9）中的表示i+1時步的估計結構切線剛度，具體推導過程見后文。

將式（7）～（9）代入式（6）中，式中僅有未知數向量，可表示為

（10）

（11）

（12）

式中，表示預測階段的等效質量矩陣；為阻尼矩陣，本文采用與質量M和剛度矩陣相關的瑞利阻尼；為等效作用力向量，為i+1時刻的地震作用激振力。正如（9）表達式一樣，i+1時刻的恢復力向量可以表示為

（13）

由式（9）與上式進行對比，可以得到真實恢復力向量與預測恢復力向量的差值為

（14）

等式（14）中包含時間增量的高階次冪，且結果為加速度的差值，因此可以認為兩個恢復力向量之間的差值可以忽略不計，即

（15）

式（15）中引入這種假設有一個優點就是，當修正階段引入切線剛度時，可以避免積分求解變得不穩定，將式（4）（5）和（15）代入式（1）中可得修正階段公式

（16）

（17）

（18）

修正階段的阻尼矩陣與預測階段一致，即；修正階段的與則不一樣，計算與估計切線剛度矩陣不相關，而是由試驗子結構測量的恢復力向量計算而得。

2.4 FOM方法用于混合模擬計算流程圖

圖 1 FOM 方法計算流程圖

Fig 1 The flow chart for FOM algorithm

3 切線剛度的推導

在擬動力試驗進行過程中，由于作動器加載的進行非常緩慢，整體結構系統的動能可以忽略不計。對于任意時刻，設結構位移為X向量，則結構體系的勢能可以表示為，非保守力作的功為，由Hamilton原理可以得到以下等式

V=W，即（19）

因此，可以構造以下函數

（20）

上式中，括號內的數表示兩者的內積，令在附近進行Taylor展開，其中代表第i時步的子結構位移向量

（21）

其導數為

（22）

要使達到極小值，則，即

（23）

由于，，令則式（23）可以轉化為

（24）

對于此類非限定性非線性問題，可以采用擬牛頓法進行優化求解[9，10]，將采用求解效率較高的BFGS方法的原理，利用以下公式可以求得各個時步的切線剛度

（25）

式中，表示試驗子結構估計切線剛度矩陣，，。

4 FOM改進方法及算例分析

4.1 FOM方法計算效率

為了考察FOM方法的積分計算性能，本節擬采用一個簡單的兩個自由度的模型，模擬結構在簡諧振動作用下的彈性分析，假設外部作用的加速度定為；同時為了考察該算法的抗干擾性，假設預測部分估計得到的切線剛度不準確，即，其中為估計切線剛度，為真實切線剛度，為人為干擾系數，引入這個參數是為了檢驗FOM方法在估計切線剛度不準確的情況下計算偏差情況。計算結構的基本信息如圖所示。

圖 2 兩個自由度的結構模型信息

Fig 2 The information of double degrees of model

圖 3 考察修正部分對計算結果的影響流程

Fig 3 Procedure for investigation of the corrector step on simulated result

整個模擬計算過程如圖2所示，由估計切線剛度經預測部分計算得到預測位移并加載于實驗模型中，得到結構恢復力的真實反應值，再由結構的恢復力值經修正部分得到結構最終的結構動力反應。考慮到不同的結構類型動力特性不同的影響，設定兩種阻尼比和進行分析；同時對于FOM方法有修正部分和無修正部分的結果進行對比。在計算過程中統一取，積分計算參數取，。相關的計算結果如圖4、圖5所示

a）

b）

圖 4 在結構阻尼比不同的剛度比的結構反應對比

a），b）

Fig 4 Model response with structural damping using different stiffness ratio：a）and b）

由圖4（a）可以看出FOM方法在干擾系數且低阻尼比的情況下，不論是否含有修正部分與參考的理論值曲線都能很好地吻合，無修正部分的方法在8.5s后才出現一些偏差，偏差最大值為8%左右。在圖4（b）可以看出，在結構硬化效應明顯的情況下FOM同樣能得到很好的計算結果，但是在無修正部分的算法所得到的結果與參考的解析值出現明顯的偏離。由此可知在硬化效應明顯的情況下，計算方法中的修正部分是必要的。

對比圖5（a）與圖4（a）可得，當結構阻尼比上升之后，一般的FOM方法能很好地適用與此類情況；然而在該算法中不含修正步驟時，計算結果的精度大大降低，由此可知，FOM方法對于不同的結構阻尼也有良好的適應能力。由圖5（b）對比圖5（a）可知，隨著結構硬化效應的提高，無修正部分的FOM方法的計算誤差也越來越高。