如何上好“‘楊輝三角’與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)”這堂課

【摘要】 《“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)》這節(jié)課是以二項(xiàng)式定理為基礎(chǔ)，研究二項(xiàng)式系數(shù)這組特定的組合數(shù)的性質(zhì)，對(duì)鞏固二項(xiàng)式定理，建立相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)組合數(shù)、進(jìn)行組合數(shù)的計(jì)算和變形有重要作用，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生需要掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；會(huì)應(yīng)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和賦值法等解決相關(guān)問題.而無論是性質(zhì)的探究還是賦值法的領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用，對(duì)于學(xué)生來說都是個(gè)難點(diǎn)，我經(jīng)過認(rèn)真研究、悉心備課，整理出了如下的方式，經(jīng)過試驗(yàn)，學(xué)生反映非常好，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的參與度和積極性，并且把賦值法的學(xué)習(xí)這個(gè)難點(diǎn)轉(zhuǎn)化成了本節(jié)課的一個(gè)亮點(diǎn)，從而成功的上好了本節(jié)課，因此，特將本節(jié)課的大概寫出來，以供同仁參考，希望對(duì)大家有所幫助.

【關(guān)鍵詞】 楊輝三角；二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；賦值法

一、溫故而知新

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了“二項(xiàng)式定理”，即（a+b）的n次方的展開式，即：

（a+b）n=C0nan+C1nan-1b1+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn+……，復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理內(nèi)容及相關(guān)概念，開門見山的引出新課，并讓學(xué)生完成課本的探究一一填表.

二、 探究性質(zhì)

利用學(xué)生填好的表，啟發(fā)學(xué)生：“表示形式的 變化 有時(shí)也能幫助我們發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律”，從而引導(dǎo)學(xué)生稍作變化得到二項(xiàng)式系數(shù)表，然后，簡單而自豪的介紹該表的來歷，并鼓勵(lì)學(xué)生去探究規(guī)律，在這里教師可以充分發(fā)揮學(xué)生主體地位的作用，放開手讓學(xué)生大膽探究發(fā)現(xiàn)，老師在巡視過程中對(duì)于遇到困難的個(gè)別學(xué)生或小組可以適時(shí)引導(dǎo).經(jīng)過激烈、充分的探討，學(xué)生可能會(huì)得到比書上還要多的規(guī)律，只要是正確的，我們都要一一肯定，從而增強(qiáng)學(xué)生的自信心和繼續(xù)求知的欲望.

三、證明性質(zhì)

學(xué)生得到的規(guī)律是當(dāng)n=1，2，3，4，5，6時(shí)得出的，所以在此時(shí)可以拋給學(xué)生一個(gè)問題：“當(dāng)n取任意正整數(shù)時(shí)，這些規(guī)律還成立嗎？”為了降低難度，可以先引導(dǎo)學(xué)生把系數(shù)表轉(zhuǎn)換成組合數(shù)的形式，然后由學(xué)生逐一去驗(yàn)證.

學(xué)生在驗(yàn)證“除1外的每一個(gè)數(shù)都等于它‘肩上’兩個(gè)數(shù)的和”時(shí)，容易出現(xiàn)的困難是：找不到Crn+1肩上的兩個(gè)數(shù)分別是多少.這時(shí)教師可以通過具體的例子引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，比如利用C25=C14+C24；C46=C35+C45等給予提示.對(duì)于“先增大后減小，中間取最大值”，這條性質(zhì)，（即“二項(xiàng)式系數(shù)的增減性與最大值”）的驗(yàn)證，可以這樣引導(dǎo)學(xué)生：“對(duì)于一個(gè)確定的n，比如n=6，（a+b）n展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的增減性與最大值除了可以通過楊輝三角觀察出來之外，你還能有其他方法，能夠直觀的顯示二項(xiàng)式系數(shù)的增減性與最大值嗎？”學(xué)生可以各抒己見，最后他們通過討論發(fā)現(xiàn)：二項(xiàng)式系數(shù)C0n，C1n，C2n，…，Crn，…，Cnn，可看成是定義在{0，1，2，…，n}上以r為自變量的函數(shù)f（r），從函數(shù)角度分析二項(xiàng)式系數(shù)的增減性與最大值，更直觀！然后讓學(xué)生畫出 n=6，7時(shí)f（r）的圖像，通過圖像，直觀的看出n=6時(shí)在r=3處取得最大值，n=7時(shí)在r=3和r=4處同時(shí)取得最大值.

教師適時(shí)總結(jié)升華：當(dāng)對(duì)稱軸是整數(shù)時(shí)，就在對(duì)稱軸處取得最大值，當(dāng)對(duì)稱軸不是整數(shù)時(shí)，在離對(duì)稱軸最近的兩個(gè)整數(shù)處取得最大值.

在分析證明C0n，C1n，C2n，…，Crn，…，Cnn的增減性和最大值時(shí)，有了n=6，7的鋪墊，

可以引導(dǎo)學(xué)生理解：要證明C0n，C1n，C2n，…，Crn，…，Cnn的增減性.只需要知道，Crn相對(duì)于Cr-1n的增減情況即可.然后由學(xué)生自己動(dòng)手求解并探討：使得Crn>Cr-1n的r的取值范圍教師和學(xué)生一起總結(jié)出： n是偶數(shù)時(shí)，展開式是奇數(shù)項(xiàng)，中間一項(xiàng)C n 2 n最大；n是奇數(shù)時(shí)，展開式是偶數(shù)項(xiàng)，中間有兩項(xiàng)C n-1 2 n和Cn n+1 2 相等，取得最大值.本著學(xué)以致用的原則，這里可以安排相應(yīng)的練習(xí)題，便于學(xué)生鞏固所學(xué).

對(duì)于“每個(gè)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，（即C0n+C1n+C2n+…+Crn+…+Cnn=2n）”這個(gè)性質(zhì)的分析與證明，我是這樣處理的，對(duì)學(xué)生順利掌握賦值法起到了很好的作用.

首先讓學(xué)生觀察要證的等式與二項(xiàng)式定理：

“（a+b）n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2…+Crnan-rbr+…+Cnnbn”的關(guān)系，教師提示：二項(xiàng)式定理是個(gè)恒等式，當(dāng)a，b為任意的實(shí)數(shù)或者多項(xiàng)式時(shí)，依然成立.因此，我們可以根據(jù)需要靈活選取a，b的值.然后請(qǐng)學(xué)生大膽嘗試給a，b任意賦值，看看能得出怎樣的等式，這個(gè)環(huán)節(jié)就像游戲一樣，學(xué)生們都樂此不疲的創(chuàng)造著一個(gè)又一個(gè)的等式.在諸多的等式中就已經(jīng)出現(xiàn)了要證明的C0n+C1n+C2n+…+Crn+…+Cnn=2n以及

C0n-C1n+C2n-C3n+…+（-1）nCnn=0等等一個(gè)又一個(gè)漂亮的等式，順其自然的就得到了：（a+b）n的展開式中的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和.從而成功突破了這節(jié)課的難點(diǎn)，并讓學(xué)生輕松掌握了這節(jié)課的重點(diǎn).

通過這種方式講授的本節(jié)課受到了學(xué)生和同事們的高度贊揚(yáng)，各位同仁們不妨一試，希望對(duì)大家有用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》數(shù)學(xué)選修2-3，人民教育出版社，A版.

[2]《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》數(shù)學(xué)選修2-3，教師用書，人民教育出版社，A版.

[3]呂永庚.讓學(xué)生在自主探究中提升學(xué)習(xí)力[J].2011年12月.