數學分析中兩個重要定理的見解

【摘要】 在學習數學分析中，Riemann積分和數項級數這兩塊非常重要，但是對于初學者卻不是很容易理解其中所含的原理，這篇文章對其中可能存在的問題做一下說明與補充.

【關鍵詞】 Riemann積分；數項級數；研究與解析

【中圖分類號】 O175 【文獻標識碼】 A

一、主要內容

1.Riemann積分條件

現在流行的數學分析的教材中對Riemann積分的定義如下：

定理1：設Tn；a=x（n）0

∑ mn i=1 f（ξi）Δx（n）i，ξi∈[x（n）i-1，x（n）i]，Δx（n）i=x（n）i-x（n）i-1，

當n→∞時的極限存在，且極限值不依賴于ξi在[x（n）i，-1，x（n）i]中的選取.

在定理1中我們看到它強調的是“分劃”與“取法”的任意性并且還要求lim n→∞ ‖Tn‖=0.現在我們將上述的分劃的任意性和lim n→∞ ‖Tn‖=0去掉得到如下的推論：

推論1：設Tn；a=x（n）0

∑ mn i=1 f（ξi）Δx（n）i，ξi∈[x（n）i-1，x（n）i]，Δx（n）i=x（n）i-x（n）i-1，

當n→∞時的極限存在，且極限值不依賴于ξi在[x（n）i，-1，x（n）i]中的選取.

證明：

必要性是顯然的.

充分性：我們先證明f是有界.用反證法：設f是無界的函數，那么由題意我們知道當n→∞，∑ mn i=1 f（ξi）Δx（n）i是存在的，我們不妨假設為M，即在[x（n）i-1，x（n）i]上存在Mi使得f（ξi）

f（ξi）≥m（n）i>f（ξi）- 1 nmnΔx（n）i ，（i=1，2，3，…，mn），

所以：

∑ mn i=1 f（ξi）Δx（n）i≥s（Tn）>∑ mn i=1 f（ξi）Δx（n）i- 1 n ，

因此lim i=1 s（Tn）=lim n→∞ ∑ mn i=1 f（ξi）Δx（n）i.同理我們可以得到：

lim i=1 S（Tn）=lim n→∞ ∑ mn i=1 f（ξi）Δx（n）i.

所以我們有：

lim n→∞ [S（Tn）-s（Tn）]=0 （1）

對[a，b]的任一分劃T：a=x0

S（T1）-s（T1）≤S（Tn）-s（Tn）. （2）

分劃T1可看成是在T的基礎上加上Tn的至多mn-1個分點得到的分劃（區間的端點在兩個分劃下相同），所以分劃T的k個小區間中至少有k-mn+1個仍是分劃T1的小區間.因此s（T）和s（T1）中至少有k-mn+1項是相同的，不同的項在s（T）中至多有mn-1個，而在s（T1）中至多可能有2（mn-1）項（每個新分點在T1中對應兩個與T中小區間不相同的小區間）.容易知道不相同的項所對應的小區間長度都不超過‖T‖.再由|f（x）|≤M可得：

s（T1）-s（T）≤3（mn-1）M‖T‖.

同理我們有：

S（T1）-S（T）≥-3（mn-1）M‖T‖.

因此我們有：

S（T）-s（T）≤S（T1）-s（T1）+6（mn-1）M‖T‖

于是我們由（2）式得到：

S（T）-s（T）≤S（Tn）-s（Tn）+6（mn-1）M‖T‖ （3）

根據（1）式，對任意ε>0，存在自然數N使得S（TN）-s（TN）< ε 2 ，我們取定δ= ε 12 （mN-1）M，那么當‖T‖<δ時，由（3）式有S（T）-s（T）<ε.故

lim ‖T‖→0 [S（T）-s（T）]=0

所以f在[a，b]上Riemann可積.

其實Riemann積分的幾何意義就是“以直代曲”的方法求曲邊梯形的面積，現在我們根據上述推論1我們知道如果曲邊形有一段是直線，那么我們就不必在“代”了.我們會得到下列陳述成立：若在推論1的前提下有lim —— n→∞ ‖Tn‖=λ>0，則存在[a，b]的一個長度為λ的子區間（c，d）使得f在（c，d）上取常值.在這里我們就不在證明了，有興趣的讀者可以自己證明一下.

2.數項級數

我們在學習數項級數收斂于發散這一節時，可能會有些疑問，為什么在某些判別法下可以確定斂散性，但在另外一種方法下我們卻不能判定斂散性.我們在學習時也會有疑問在其中一種判別法判定收斂時，但在另外一種卻不能判定斂散性時，我們是否能說這個級數收斂呢？現在我們就來分析一下這些問題.首先所謂用一種判別法可以判別收斂，但是用另外一種不能夠判定是否收斂就是判別法的強弱問題，而判別法的強弱與建立它所依據的標準級數的收斂速度有關，例如我們選取三個標準級數：∑ ∞ n=1 an（01），∑ ∞ n=1 1 n（lnn）t （t>1）.首先我們來看收斂的速度.顯然∑ ∞ n=1 an（0∑ ∞ n=1 1 nt （t>1）>∑ ∞ n=1 1 n（lnn）t 所以如果我們在以上述級數為標準建立的各類正項級數判別法是最后一項最強，其次是以∑ ∞ n=1 1 nt （t>1）為標準級數建立的判別法，最后就是以∑ ∞ n=1 an（01）為標準級數建立的兩個判別法：對數判別法和Raabe判別法（見參考文獻[1]，[2]）適用的范圍是對數判別法強于Raabe判別法.

例1 ∑ ∞ n=1 an=∑ ∞ n=1 3-[（-1）n+lnn]

（ⅰ）我們先采用對數判別法得到：

lim n→∞ ln（1/an） lnn =lim n→∞ ln（3[（-1）n+lnn]） lnn =lim n→∞ [（-1）n+lnn]ln3 ln3 =ln3>1.

所以由對數判別法我們知道∑ ∞ n=1 an=∑ ∞ n=1 3-[（-1）n+lnn]收斂.

（ⅱ）我們采用Raabe判別法：

n 1- an+1 an = n 1-32+ln n n+1 ，n為偶數；n 1-3-2+ln n n+1 ，n為奇數.

我們對其取上限可以得到：

lim —— n→∞ n 1- an+1 an =+∞（n為奇數），

lim —— n→∞ n 1- an+1 an =-∞（n為偶數）.

所以我們用Raabe判別法無法判別是否收斂.

二、結束語

在數學分析中，我們知道Riemann積分和數項級數是兩塊重要的內容，也是從事數學研究工作者研究有關函數這一塊的基礎，所以理解運用好這兩塊非常重要，希望這篇文章可以對數學愛好者理解這兩塊有些幫助.

【參考文獻】

[1]包虎.正項級數對數判別法的極限形式 [J].赤峰學院學報（自然科學版），2011，27（1）：3-4.

[2]姬小龍.正項級數的Raabe對數判別法[J].高等數學研究，2007，10（3）：7-9.