共軛解析函數積分公式的一個推廣

【摘要】 柯西積分公式是解析函數的積分表達式，是我們研究解析函數各種局部性質的重要工具，是聯系函數及其積分的橋梁.本文主要研究被積函數在有界區域內有2個及其以上奇點的情形，得到了相應的共軛解析函數的積分公式.

【關鍵詞】 共軛解析函數；奇點；積分公式

【中圖分類號】 O174.5 【文獻標識碼】 A

【基金項目】 國家自然科學青年基金資助項目（No. 61304146），貴州省高校優秀科技創新人才支持計劃資助項目（黔教合KY字[2012]101號），貴州省科技廳、安順市政府、安順學院三方聯合基金（黔科合J字LKA[2013]19號）

1.引 言

柯西積分公式是復變函數中十分重要的一個公式，既有理論價值，又有實際應用，它的重要性在于一個解析函數在區域內部的值可以用它的邊界上的值通過積分來表示，正由于這一點，柯西積分公式提供了計算復積分的重要方法，它把沿閉曲線的積分轉化為求函數的函數值，從而簡單巧妙地解決了大量復積分的計算問題.同時也為一些實積分的計算提供幫助，比如被積函數是非初等函數的實積分問題，只能借助復積分的方法去解決.已有很多學者對解析函數的柯西積分公式進行了研究.特別地，文[1]給出了函數在區域內只有一個奇點時的柯西積分公式，文[2]討論了有界區域內不同奇點個數時的柯西積分公式的推廣形式.

解析函數雖然能解決平面無源無旋場的問題，但對于有源場和有旋場就無能為力了.1988年，王見定提出了共軛解析函數，共軛解析函數可以用來解決解析函數所能解決的幾乎所有問題，并且比解析函數更直觀，方便.王見定研究了函數在有界區域只有一個奇點時的共軛解析函數的積分公式：

引理1 若Γ為區域D的邊界周線，F（z）= f（z） z-z0 ，f（z）在D內共軛解析，z0∈D，D - =D+Γ，則

∫Γ f（z） z-z0 dz =-2πif（z0）.

引理2 若Γ為區域D的邊界周線，F（z）= f（z） （z-z0）n ，f（z）在D內共軛解析，z0∈D，D - =D+Γ，則

∫Γ f（z） （z-z0）n dz =- 2πi （n-1）！ f（n-1）（z0）

引理1、引理2中的z0是被積函數在周線Γ所圍區域內唯一的奇點.如果給定的被積函數在周線Γ所圍區域內有2個及以上奇點時就不可直接用它們，本文針對被積函數在有界區域內有2個及以上奇點的情況，推廣了共軛解析函數的積分公式.

2.主要結果

定理1 若Γ為簡單閉曲線，F（z）= f（z） （z-z1）p（z-z2）q ，f（z）是Γ內的共軛解析函數，且z1，z2在Γ的內部，則

∫ f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =-2πi 1 （p-1）！ ψ（p-1）（z1）+ 1 （q-1）！ φ（q-1）（z2） .

其中φ（z）= f（z） （z-z1）p ，ψ（z）= f（z） （z-z1）q .

證明 在Γ內作以z1，z2為圓心，r1，r2為半徑的兩個互不相交的圓，分別為c1，c2.由[7，定理4]，得

∫Γ f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =∫c1 f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz +∫c2 f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz . （1）

由于ψ（z）= f（z） （z-z2）q 在c1內共軛解析，所以由引理1得

∫c1 f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =∫c1 f（z） （z-z2）q （z-z1）p dz =∫c1 ψ（z） （z-z1）p dz =- 2πi （p-1）！ ψ（p-1）（z1）. （2）

同理，由于φ（z）= f（z） （z-z1）q 在c2內共軛解析，則

∫c2 f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =∫c2 f（z） （z-z1）p （z-z2）q dz =∫c2 φ（z） （z-z2）q dz =- 2πi （q-1）！ φ（q-1）（z2）. （3）

把（2）、（3）代入（1），得

∫ f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =-2πi 1 （p-1）！ ψ（p-1）（z1）+ 1 （q-1）！ φ（q-1）（z2） .

證完.

特別地，當F（z）= f（z） （z-z1）p（z-z2）q 中p=1，q=0時，即為引理1；當q=0時即為引理2.

推論1 設f（z）在以z為圓心，R為半徑的區域C內共軛解析，在C內有互不相交的以z1，z2為圓心，r1，r2為半徑的圓形區域c1，c2.設M=max z =R f（z） ，則

1 （p-1）！ φ（p-1）（z1）+ 1 （q-1）！ ψ（q-1）（z2） ≤ MR r1pr2q

證明 由定理1，得

1 （p-1）！ φ（p-1）（z1）+ 1 （q-1）！ ψ（q-1）（z2） = - 1 2πi ∫Γ f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz ≤ 1 2π ∫ z =R f（z） z-z1 p z-z2 q dz ≤ 1 2π · M r1pr2q ·2πR= MR r1pr2q .

證完.

定理1給出了被積函數在周線Γ所圍區域內有2個奇點時的共軛解析函數的積分公式.下面我們將定理1的結果推廣到被積函數在周線Γ所圍區域內有2個以上奇點時的情形.

定理2 若Γ為簡單的閉曲線，設F（z）= f（z） ∏ n i=1 （z-zi）ni ，其中zi在Γ的內部且f（z）共軛解析，則

∫Γ f（z） ∏ n i=1 （z-zi）ni dz ==-2πi∑ n i=1 1 （ni-1）！ φ（ni-1）（zi）.

其中 φk（z）= f（z） ∏ n k≠i i=1 （z-zk）nk ，k∈ N *.

證明 在Γ內作以zi為圓心，ri為半徑的n個互不相交的圓，分別為ci，i=1，…，n.由于φk（z）= f（z） ∏ n k≠i i=1 （z-zk）nk 在ci內共軛解析，所以由引理2得

∫Γ f（z） ∏ n i=1 （z-zi）ni dz =∑ n i=1 ∫ci f（z） ∏ n i=1 （z-zi）ni dz =∑ n i=1 ∫ ci φk（z） （z-zi）ni dz =-2πi∑ n i=1 1 （ni-1）！ φ（ni-1）（zi）.

證完.

類似于推論1，由定理2，我們也可以得到下面的推論.

推論2 設f（z）在以z為圓心、R為半徑的圓C內共軛解析，在C內有以zi為圓心，ri為半徑的圓形區域ci.設M=max z =R f（z） ，則

∑ n k=1 1 （nk-1）！ φk（n-1）（zk） ≤ MR ∏ n i=1 rini

應用上面的定理，計算積分區域內有多個奇點時的共軛積分是很方便的，下面試舉一例.

例1 計算積分∫ z =2 5z-2 z（z-1）2 dz .

解 顯然f（z）= 5z-2 z（z-1）2 在 z =2內有兩個奇點z=0，z=1，令

φ（z）= 5z-2 z - ， ψ（z）= 5z-2 （z-1）2 .

則由定理1得

∫ z =2 5z-2 z（z-1）2 dz =-2πi 1 （1-1）！ ψ（1-1）（0）+ 1 （2-1）！ φ（2-1）（1） =-2πi（-2+2）=0.