改進的非線性發展方程解的離散研究

【摘要】 本文對改進的非線性發展系統的邊界條件和影響函數進行研究，得到解的簡易離散算法.運用泛函理論，證明了該算法具有可操作性，使利用計算機求解此類方程成為可能.

【關鍵詞】 離散；算法；可操作性

一、模 型

上述方程轉化為：

二、方程的半離散化

1.對于b（r）可取兩個階梯函數[2]：

（1） 取下階梯函數bn （r），r∈ 0，rm ，使之滿足lim n→∞ bn （r）=b（r）；

（2） 取上階梯函數bn （r），r∈ 0，rm ，使之滿足lim n→∞ bn （r）=b（r）；

易得： bn （r）≤b（r）≤bn （r）.

2.對于c（r）可取兩個階梯函數[2]：

（1）取下階梯函數cn （r），r∈ 0，rm ，使之滿足lim n→∞ cn （r）=c（r）；

（2）取上階梯函數cn （r），r∈ 0，rm ，使之滿足lim n→∞ cn （r）=c（r）；

易得： cn （r）≤c（r）≤cn （r），并得

‖p（r）‖X=∫ r 0 p（r） dr.

可知X是Banach空間.

再定義算子及定義域：

（r）h（r）p（r）dr 抽象系統模型為

dp（t） dt =Ap（t）+B m（t）+p（t） p（t），p（0）=p0. （4）

三、方程解的性質

引理3.1 設f：[t0，∞）×X→X對有界區間上的t一致地關于y在X上滿足局部Lipschitz條件，且f關于t連續，則對任給的y0∈X，非線性抽象Cauchy問題在最大存在區間上存在唯一的mild解y（·），且可表示為

y（r，t）=T（t）·y0+∫ t 0[m（s，t）+T（t-s）·f s，y（s） ]ds.

定理3.1[2] 方程（4）存在唯一解，且

p（r，t）=T（t）·p0+∫ t 0T（t-s）·B m（s）+p（s） ·p（s）ds.

推論3.1 方程（2）、（3）存在唯一解，且分別為

定理3.2 設p（r，t），pn （r，t），pn （r，t）分別是方程（1），（2），（3）的解，則對任意的n∈N，有pn （r，t）≤p（r，t）≤pn （r，t）成立.

證明 不妨只證明pn （r，t）≥p（r，t）.

同理可證p（r，t）≥pn （r，t）.故pn （r，t）≤p（r，t）≤pn （r，t）.

定理3.3 方程（1），（2），（3）的解有如下關系：

lim n→∞ pn （r，t）=p（r，t）=lim n→∞ pn （r，t）.

定理3.2和定理3.3說明：離散比例函數與生育模式參數的乘積和環境影響函數求解分布密度函數是可行的.