解費爾馬大定理（Fermats Last Theorem） 真正奇妙的證明（truly marvelous Proof）之謎（2014完整版）

【摘要】 用廣義無窮遞降法，用數學中數論、幾何、代數方法的“技術上相互兼容”的特點.和初等數學及數論十七世紀初已有成果，建立五個引理，奇妙的證明了不定方程

xN+yN=zN （1）

當正整數N>2，無正整數解.

【關鍵詞】 廣義無窮遞降法；單位圓；三角形的高；無理數；算術基本定理；代數基本定理；比例中項；韋達定理

現將費爾馬大定理真正奇妙的證明，或稱“走下神壇”的證明分三方面分述如下.

一、歷史與廣義無窮遞降法

1992年獲中國圖書一等獎和最優秀十大暢銷書之一的“中國少年兒童百科全書”科學、技術卷，和北京景山學校編的：“中學生百科知識日讀”，（知識出版社，1983）對費爾馬大定理的“真正奇妙的證明”作了如下表述.

業余數學家之王——法國人費爾馬（Fermat，1601～1665）大約在1637年在古希臘名著“算術”一書空白處記了兩段筆記.提出方程（1）xN+yN=zN當正整數N>2無正整數解，當時費爾馬在書頁邊還寫道：“我已經找到這個命題的真正奇妙的證明，但是這里空白太小，寫不下了.” 1994年現任美國普林斯頓大學教授安德魯·懷爾斯（Andrew wiles）找到了（1）式無正整數解的另一個復什證明.但至今，“一直沒有發現費爾馬的證明，300多年來，大批數學家，其中包括歐拉、高斯、阿貝爾、柯西等許多最杰出的數學家都試圖加以證明，但都沒有成功.”……“于是留下數學難題中少有的千古之謎.”

據“談勾股定理”一書（嚴以誠，孟廣烈，北京出版社，1980.4）80頁這樣寫道：“費爾馬的證明是什么的，誰也不清楚.1850年及1853年，法國科學院曾兩次懸賞征解，都沒收到正確的答案；1908年，德國哥廷根科學院又向全世界征求解答，限期一百年.”發行量在全球很大且很受讀者歡迎的《讀者》期刊，在1996年7期11頁的“數學家軼事”一文中，最后這樣寫道：“在數學上，‘費爾馬大定理’已成為一座比珠穆朗瑪峰更高的山峰，人類的數學智慧只有一次達到這樣的高度，從那以后，再也沒有達到過.”

根據當時的數學水平——約相當現高中優秀學生水平；費爾馬首創無窮遞降法的思維方法——費爾馬用首創無窮遞降法證明了N=4費爾馬大定理成立，且五次筆及用此法證明數學名題.但費爾馬沒有寫出無窮遞降法的定義.見到的名家定義也各不同.因此把中國孫子兵法兵勢編對奇與無窮的觀點引入，和把比爾·蓋茨（Bill Gates）在“未來之路”（北京大學出版社，1996.1：5，48-50）提倡的“正向螺旋”和“技術上相互兼容”的思維法則引入.把廣義無窮遞降法理解為：減少變量個數（包括減少變量變化范圍）、或降低方程的次數，（當然包括同時利用上述兩方面方法）后用變化無窮的數論、幾何、代數互相兼容的數學技巧求原方程的解.以下據此廣義無窮遞降法思維，探索費爾馬大定理的“真正奇妙的證明”.

二、真正奇妙的證明

費爾馬的筆記是在正文討論一個平方數表為有理數平方的書頁中寫出.據此思維，將方程（1）化為：

x z N+ y z N=1.即：aN+bN=1 （2）

方程（1）有正整數解，則（2）式中a、b必均為正有理數，同理，方程（1）無正整數解，則方程（2）a、b 必不可能同時為正有理數.當能證明（2）式中，在正整數N>2時，a、b不可能同時為正有理數，則費爾馬大定理成功獲證.方程（1）化為方程（2），變量由4降3，由求正整數解，變為求正有理數解，是求“真正奇妙的證明”首要一步.

為求“真正奇妙的證明”，建立五個引理.

引理1 要費爾馬大定理成立，僅需證明當N=4時，及N為奇素數時均成立，即已足夠.且我們僅需證明N為奇素數情況即可.

證：引理1引于華羅庚（1910-1985）著“數論導引”318頁（科學出版社，1979年11月版）.陳景潤（1933-1996）著初等數論（1）67-68頁（科學出版社，1978年12月版）給出中學生能看懂的嚴密證明.北京景山學校編的“中學生百科知識日讀”（下）（知識出版社，1983年）440至441頁介紹了費爾馬大定理簡要全面情況后對引理1正確性作了簡要說明.對于N=4費爾馬大定理成立，公認由費爾馬先證出.故我們僅需證明N為奇素數情況，引理1證畢.

引理2 當奇正整數（包括奇素數）N>2，且

3 5 2+ 4 5 2=1=aN+bN （3）

則（3）式中a、b不可能同時是正有理數.

證：先說明（3）式來源，后用三個引理充分證明引理2的正確性.

據“十大數學家”—書132頁（傅鐘鵬，廣西科技出版社，1997年9月2版 ），費爾馬寫在“算術”一書的筆記的原書正文是將16分成 256 25 和 144 25 ，即表為（3—0）的過程：

42= 16 5 2+ 12 5 2 （3-0）

將（3-0）式兩邊除以42，并與（2）式進行比較，即可導出（3）式.

由（3）式，易導出：

3 5 2+ 4 5 2= a N 2 2+[b N 2 ]2=1 （4）

由（4）式，知 3 5 ， 4 5 ， a N 2 ，b N 2 都是單位圓上的點，導出奇妙直角三角形OAB，這是奇妙證明的第二個突破點.為證明引理2，建立引理3.

引理3：aNbN=h2，其中h是下圖，

△OAB，OA=1為底邊的高.

OA=1，BC=h.

證：上圖由（4）式導出，其中OA=1，BC=h，BC垂直0A，AB=b N 2 ，OB=a N 2 ，AB垂直OB.△OAB面積可表為：

1 2 a N 2 ·b N 2 = 1 2 h·OA.

化簡上式得：

aN·bN=（ab）N=h2 （5）

引理3證畢.

為證明引理2，再建立引理4.

引理4 h2=[ab]N=X1-X21 （6）

（6）式中，X1是Rt△OAB中AC長度，即：X1=AC.

證：據前面1中的“談勾股定理”一書，32頁，由直角三角形頂點所作的高h，是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項，即：

h2=AC·CO=X1（1-AC）=X1-X21.

引理4證畢.（6）式是奇妙證明的第三個突破點.為證明引理2，再建立引理5.

引理5 （6）式中，當正整數N>2是奇數，則（ab）不可能是有理數.

證：由（6）式導出下列方程：

X21-X1+（ab）N=0 （6 1）

設X1是變量，h及ab是常數，則（6 1）式是變量X1的二次方程，二次項系數為整數1，一次項系數為（—1），據代數基本定理一元二次方程有兩個根，設為X2，X3，則據中學教科書上的韋達定理（Vieta，法國，1540～1603）和中學數學基礎知識，可用兩種方法證明引理5成立.

證法一，反證法.設a、b同時是有理數，則據算術基本定理有：

a·b N= n m N （7）

（7）式中m，n為正整數（素數之積），據算術基本定理表法唯一.據初中數學一元二次方程根與系數關系公式，由（6-1）式及（7）式，有：

x2·x3= n m N （8）

據（8式），（6-1）式有N>2個相等的根 n m ，與代數基本定理：一元二次方程只有兩個根（包括重根）矛盾，故原設a、b同時是有理數不成立.故a、b不能同時為正有理數，證法一證畢.

證法二，用一元二次方程有相等實根公式證明a、b不能同時為有理數.（6-1）式有相同實根的公式是：

1-4 ab N=0 （9）

由（9）式有：ab= 1 4 1 N （10）

由（10）式，當正整數N>2，a，b不等且a，b不可能同時是有理數，證法二證畢.

引理5證畢.

由于引理1、2、3、4和5成立，故（2）、（3）式中a，b不可能同時是有理數，故當正整數N>2，（1）式成立，費爾馬大定理奇妙的證明證畢.

從上述證明過程知：得出“真正奇妙的證明”需走費爾馬的思路，建立三個基本要素：將變量數下降：由（1）式化為（2）式變量由4個降為3個；將變量下降后的方程與二次方程對比分析，導出方程（3）和（4），作出奇妙直角三角形OAB；從奇妙三角形導出（6）式和（6-1）式.三個基本要素的巧妙運用，簡稱為廣義無窮遞降法.用比爾.蓋茨在“未來之路”一書的提法是技術上互相兼容和“正向螺旋”因素激勵的結果.就產生了“真正奇妙的證明”.奇在于只用費爾馬時代的已有數學知識，妙在于三個基本要素的巧妙聯合運用.奇還在于365年中世界上幾代優秀數學家找不到這種思維方法.費爾馬用了7至17年，本作者用了30年多才找到此方法.

本證明對進一步理解單位圓等十多個初等數學基本概念和互相聯系運用的特性有幫助.是理解中學數學一批基本概念和聯系運算最好習題之一，是體驗數學魅力好教材之一.

三、三個對比和三個價值

1.三個對比

據有關報道，現任美國普林斯頓大學教授的安德魯.懷爾斯經30年努力于1994年9月19日證明費爾馬大定理成立，現將懷爾斯成果與本文成果，從下列三個方面對比如下.

（1）證法與費爾馬“真正奇妙的證明”的比較.懷爾斯教授證明，用了二十世紀日本數學家等新的科研成果為基礎而得出.因此肯定不定費爾馬當年的“真正奇妙的證明”.本文證法，使用的數學知識，費爾馬時代已具備，與費爾馬首創無窮遞降法證明數學問題和筆記在“算術”書頁思維方法，極近似，因此，本證明，有可能是費爾馬當年所想所寫的“真正奇妙的證明”.

（2）看懂證明成果人數比較.懷爾斯教授的證明，“世界上只有大約100個人可以看懂.”本證明，高中畢業生中有2 % 的人能看懂，全世界能看懂的人超億人.

（3）論文長短比較.懷爾斯教授論文長140頁，簡化后也有100頁，本文全部約5頁.

2.本成果的三個價值

本成果的三個價值是：用廣義無窮遞降法解開了365年“真正奇妙的證明”之謎，且超億人能看懂，豐富了初等數論和初等數學內容.對啟發知識創新有很大參考價值；由于世界古今六大數學難題之一，得到“真正奇妙的證明”有很大歷史文化價值；和再證明了二十世紀最偉大的思想家和科學家愛因斯坦（Einstein，1879—1955）的一句名言的價值，據景山學校編，“中學生百科知識日讀”，645頁：愛因斯坦認為：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅僅是一個數學上或實驗上的技能而已，而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，卻需要有創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步.”