一題多解求二次函數的解析式

【摘要】 二次函數是中考的熱點與難點，其最值問題，歸根結底是求二次函數的解析式，而求函數的解析式一般采用待定系數法.該方法又可衍生出幾類求解函數解析式的思想與方法，從而讓學生從不同的角度考慮如何求二次函數解析式.

【關鍵詞】 二次函數；解析式；待定系數法

二次函數是一類刻畫最優化問題的數學模型，通過一題多解，感受數學的模型思想和應用價值，可以培養學生的探索精神，下面通過實例讓學生體會如何用待定系數法求解析式，以便于學生進行考前復習.

圖 1 例 如圖1所示，某大學校門是一拋物線型水泥建筑物，大門的地面寬度為8 m，在兩側距地面4 m高處各有一個掛校名橫匾用的鐵環，兩鐵環間的水平距離為6 m，求校門的高度.

解法一 利用拋物線的兩根式求解析式.

解 以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立如圖1-1所示的直角坐標系，則A（-4，0），B（4，0），C（-3，4），D（3，4），設拋物線的解析式為：

y=a（x+4）（x-4）（a≠0）…………兩根式

∵C（-3，4）在拋物線上，將C（-3，4）代入拋物線的解析式，則4=-7a，∴a=- 4 7 ，

∴拋物線的解析式為：y=- 4 7 （x+4）（x-4）=- 4 7 x2+ 64 7 ，

∴當x=0時，大門的高度OE= ymax = 64 7 （m）.

圖1-1 解法二 如圖1-1，因為C（-3，4），D（3，4）的縱坐標相同，可利用拋物線的對稱點式求解析式.

解 建立如圖1-1所示的直角坐標系，則A（-4，0），B（4，0），C（-3，4），D（3，4），設二次函數的解析式為：y=a（x+3）（x-3）+4（a≠0）…………對稱點式

∵A（-4，0）在拋物線上，將A（-4，0）代入拋物線的解析式，則0=7a+4，∴a=- 4 7 ，

∴二次函數的解析式為：y=- 4 7 x2+ 64 7 ，∴當x=0時，大門的高度OE= ymax = 64 7 （m）.

圖1-2 解法三 如圖1-2，因為A（-4，k），B（4，k）的縱坐標相同，可利用拋物線的對稱點式求解析式.

解 設二次函數的解析式為：y=a（x+4）（x-4）+k（a≠0）…………對稱點式.

∵O（0，0），D（3，k+4），在拋物線上，則 0=-16a+kk+4=-7a+k ， 解之得 a=- 4 7 k=- 64 7 ，

∴大門的高度OF= k = 64 7 （m）.

解法四 如圖1-2，因為C（-3，k+4），D（3，k+4）的縱坐標相同，可利用拋物線的對稱點式求解析式.

解 設二次函數的解析式為：y=a（x+3）（x-3）+（k+4）（a≠0）……對稱點式.

∵O（0，0），A（-4，k），在拋物線上，則 0=-9a+k+4k=7a+k+4 ，解之得 a=- 4 7 k=- 64 7 ，

∴拋物線的解析式為：y=- 4 7 x2，

∴大門的高度OF= k = 64 7 （m）.

解法五 如圖1-1，因為可知拋物線的對稱軸，可用拋物線的頂點式求解析式.

建立如圖1-1所示的直角坐標系，則A（-4，0），B（4，0），C（-3，4），D（3，4）.∵拋物線的對稱軸為x= -4+4 2 =0，即拋物線關于y軸對稱，

∴可設拋物線的解析式為：

y=ax2+k（a≠0），（頂點式），則 0=16a+k4=9a+k ，解之得， a=- 4 7 k= 64 7 .

∴二次函數的解析式為：y=- 4 7 x2+ 64 7 ，∴當x=0時，大門的高度OE= ymax = 64 7 （m）.

解法六 如圖1-2，因為可知拋物線頂點坐標，可利用拋物線的頂點式求解析式.

解：如圖1-2，以拋物線的頂點為坐標原點，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，設A（-4，k），B（4，k），C（-3，k+4），D（3，k+4）.

∵拋物線的頂點為坐標原點，∴可設拋物線的解析式為：y=ax2（a≠0）.（頂點式）.

則 k=16ak+4=9a ，∴ a=- 4 7 k=- 64 7 ， ∴二次函數的解析式為：y=- 4 7 x2.∴大門的高度為x=-4時，函數y的值的絕對值，即OF= yx=-4 = - 64 7 = 64 7 （m）.

解法七 如圖1-2，因為可知拋物線頂點坐標，可利用拋物線的頂點式求解析式.

解 如圖1-2，以拋物線的頂點為坐標原點，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，∵拋物線的頂點為坐標原點，∴可設拋物線的解析式為： y=ax2（a≠0）……頂點式

∵xA=-4，xB=4，xC=-3，xD=3，∴yA=yB=16a，yC=yD=9a，

又∵ yA-yc =4，∴ 16a-9a =4，∴ 7a =4.又∵a<0，∴a=- 4 7 .∴拋物線的解析式為：y=- 4 7 x2，∴當xA=-4時，大門的高度為 yA = 64 7 .

解法八 已知拋物線上三個獨立的點，可利用拋物線的一般式用待定系數法求解析式.

解 建立如圖1-1所示的直角坐標系，則A（-4，0），B（4，0），C（-3，4），D（3，4），設二次函數的解析式為：y=ax2+bx+c（a≠0）…………一般式，則 16a-4b+c=0，16a+4b+c=0，9a-3b+c=4. 解得 a=- 4 7 ，b=0，c= 64 7 . ∴可設拋物線的解析式為：y=- 4 7 x2+ 64 7 .∴大門的高度OE為x=0時，函數y的值的絕對值，即0E= yx=0 = 64 7 = 64 7 （m）.

對于二次函數而言，用待定系數法求解析式一般有四種方法.（一）若已知拋物線經過三個獨立的點A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），可利用一般式設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）；（二）若已知拋物線的頂點坐標P（m，n），或對稱軸方程x=m，可利用頂點式設二次函數的解析式為y=a（x-m）2+n（a≠0）；（三）若已知拋物線與x軸的交點坐標B1（x1，0），B2（x2，0），可利用兩根式設二次函數的解析式為y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）；或先求出對稱軸x=m= x1+x2 2 ，可利用頂點式設二次函數的解析式為y=a（x-m）2+n（a≠0）；（四）若已知拋物線經過點P1（x1，t），P2（x2，t）此兩點的縱坐標相同，可利用對稱點式設拋物線的解析式為：y=a（x-x1）（x-x2）+t（a≠0）；或利用拋物線的對稱性，先求出拋物線的對稱軸x=m= x1+x2 2 ，可利 用頂點式設二次函數的解析式為y=a（x-m）2+n（a≠0）.