解析幾何教學中數學思想的學習

解析幾何是每年高考的重點與難點，學生對解析幾何題“望而生畏”的原因，在于解析幾何具備了雙重身份及代數身份與幾何身份.代數身份要求學生有較強的運算能力與處理多元變量的能力，幾何身份要求學生對曲線、圖形有較強的幾何條件與分析能力，所以提高學生解決解析題的能力是一項艱巨及深遠的任務.點差法，設而不求是解析幾何的基本方法，能運用這些基本方法的關鍵是必須有一定數學思想的積淀，而解析幾何中常用的數學思想較多有數形結合思想，函數與方程思想，分類討論思想，等價化歸思想，整體思想等.數學思想是數學的精髓，學生只有理解了數學思想，才能有效地運用數學理論解決問題，進行數學思維.如何在平時教學中滲透數學思想？

一、思想引領方法，燃起學習數學思想的欲望

學習了解析幾何的第一章直線以后，高二學生對待定系數法有了進一步的認識，在第二章圓的學習中，應該說是“順水推舟”了.

例1 求與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0所截弦長為2的圓的方程

分析 待定系數法運用的過程，即是方程思想的運用過程.有幾個“等待”確定的未知量，即需由題設條件列幾個方程.在圓的方程中有三個量a，b，r只需由題設條件列出有關a，b，r的三個方程.在方程思想的引領下，待定系數法的運用就非常自如.數學思想是對數學理論的本質的認識，而數學方法則是其數學理論的具體化.

二、在碰壁中歸納，竟顯數學思想的身價

數形結合思想，方程思想的學習對高二學生來說并不是很困難，但在選修2-1的圓錐曲線中，對學生的數學思想，數學能力的要求就有了進一步提高.如在求解離心率，漸近線時，學生覺得有困難，這時在例題講解時，歸納數學思想方法就很有必要.以不變的數學思想方法解決形形色色的各種題，讓他們胸有成竹，信心倍增.

例2 設橢圓的兩個焦點分別為F1，F2，過F2作橢圓長軸的垂線與橢圓相交，其中的一個交點為p，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為 .

分析 求離心率即求的是a，c兩量的關系，這個目標先應讓學生清楚.把求離心率的問題轉化成求a，c兩量關系問題，而從題設中得到的可能是a，b，c三量之間的關系，此時只需要把b用a，c表示即可.

解一 利用橢圓定義直接找a，c關系.

∵△F1PF2為等腰三角形.

∴|PF2|=2C，|PF1|=2 2 C.

∵|PF1|+|PF2|=2a， 即 2 2 C+2C=2a，∴（ 2 +1）C=a，∴e= c a = 1 2 +1 = 2 -1.

解二 P c， b2 a ，∵△F1PF2為等腰三角形，∴|PF2|= F1F2 ，∴ b2 a =2C∴b2=2ac.∴a2-c2=2ac.∴e2+2e-1=0∴e= 2 -1.

例3 （2010浙江理科高考第8題）設F1，F2分別為雙曲線 x2 a2 - y2 b2 =1（a.>0，b>0）的左右焦點，若在雙曲線右支上存在點P，滿足|PF2|= F1F2 且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長，則雙曲線的漸近線方程為（ ）.

A.3x±4y=0 B.3x±5y=0

C.4x±3y=0 D.5x±4y=0

分析 求漸近線方程y=± b a x，即找a，b兩量關系，與離心率一樣轉化成求a，b，c三量之間的關系.過F2作PO⊥PF1，O為PF1中點F2又到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長2a∴ F2O =2a，∴ PO = 4c2-4a2 =2b.∴|PF1|=4b.再利用雙曲線定義即找到了a，b，c三量關系，∴|PF1|-|PF2|=2a.∴4b-2c=2a∴c2=（2b-a）2.

∴a2+b2=4b2+a2-4ab.∴3b2=4ab.∴ b a = 4 3 .

歸納：（1）題中運用了數形結合思想，轉化思想，求離心率，漸近線問題轉化成求a，b，c三量關系.

（2）尋找a，b，c關系，通常從兩個方向進行“幾何與代數”，分析題設條件，充分挖掘幾何條件.

通過實例歸納，體會數學思想，讓學生從心底感受到在不變的數學思想下，方法才得到實現，實實在在感受到數學思想力量的強大.

三、在反思中鞏固，體會數學思想的力量

1.多法并舉，不斷深化

方程的方法和數形結合的方法是解決解析幾何問題的兩大方向，這兩種方法都要求學生在平時訓練中，嘗試，比較.在練習，比較中讓他們體會利用方程解決問題時必須注重嚴密性，利用數形結合時要充分利用幾何性質，體會它的優越性.通過一題多解，一題多變，拓展延伸的訓練，引導學生多方位，多視角思考問題，發現問題.教會學生如何進行多角度轉化，如何獲得解題思路，掌握數學思想.

例4 如圖，M是拋物線y2=4x上一點，F是拋物線的焦點，以Fx為始邊，FM為終邊的角∠xFM=60°，求 FM .

解一 過M作MN⊥準線，垂足為N，記準線與x軸交點為T

∵∠xFM=60°，

∴∠NMF=60°， MN = MF .

∴△MNF為正三角形.∴∠NFT=60°.

在Rt△NTF中 TF =2，∴ NF = MF =4.

解二（方程思想） 過M作MS⊥x軸于S

令 MF =t，則 MN =t，△MSF中∠MFS=60°.∴ FS = t 2 . TS = TF + FS ，得 t 2 +2=t，解得t=4.

解三 直線MF方程為：y= 3 （x-1）設M（x1，y1）.∴y= 3 （x-1）.

y2=4x，消y得：3x2-10x+3=0.解得x1=3，x2= 1 3 （舍）.∴ MF =3+1=4.

2.糾錯反思，及時鞏固

“失敗是成功之母”，錯了以后要讓學生反思此題考查了什么思想方法，以后會運用這種思想方法的時候要注意什么？解題后反思能夠培養學生良好的思維品質，既可促進“雙基”的掌握，又能加強知識的有效遷移，是提高解題能力的重要途徑，有了良好的思維品質，就有了良好的思維習慣，通過反思讓學生在不斷的知識聯系和整合中，豐富認知結構中的內容.通過不斷地反思總結，才能及時鞏固并運用數學思想，才能在解題時做到有的放矢，思維優化.

四、在運用中提升，感受數學思想方法的強大

例5 設二次函數f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在 3，4 上至少有一個零點，求 a2+b2的最小值.

解 把等式看成關于a，b的直線： （x2-1）a+2xb+x-2=0利用直線上的一點到原點的距離大于原點到直線的距離，即 a2+b2 ≥ |x-2|[] （x2-1）2+（2x）2 .

∴ a2+b2≥ （x-2）2 （x2-1）2+（2x）2 = 1 （x-2）+ 5 x-2 +4 2 ≥ 1 100 ，∵x-2+ 5 x-2 ，x∈ 3，4 是減函數，∴當且僅當x=3時取最小值 1 100

此題巧用了a2+b2的幾何意義.把看似函數零點的問題，從幾何角度，轉化成求點到直線的距離問題，利用轉化思想使題目煥然一新，當然還可用函數，方程求解.讓學生在運用中感受數學思想的強大，感受成功的喜悅.

興趣是最好的老師.在教學過程中，根據學情設計教學思想的教學目標，結合教學內容適時滲透，及時總結，反復強化，激發學生學習數學的興趣，提高學習數學的熱情.用數學思想武裝學生，使學生真正成為數學的主人.