對一道命題的否定的進一步思考

【摘要】 “若p則q”型命題的否定與否命題是兩個完全不同的概念，即使有的學生能夠區分開來，也很難正確地寫出命題的否定，本文通過一道具體的實例的錯解剖析來談談這類命題如何否定

【關鍵詞】 命題；否定；否命題

在對高中數學簡易邏輯的命題的教學中，我發現有好多學生對這種“若p則q”型命題的否定與否命題兩個概念分不清楚，即使有的學生能夠區分開來，卻又很難正確地寫出命題的否定，下面通過對一道具體的實例的錯解剖析來談談這類命題如何否定.

例 已知命題P：“若a>b，則a2>b2”，請寫出該命題的否定.

錯解一 此命題為“若p則q”型，故其否定為“若 p，則 q”；因而該命題的否定為 p：“若a≤b，則a2≤b2”.

剖析 誤把命題的否命題當成是命題的否定，其實命題的“否命題”與“命題的否定” 是兩個不同的概念，首先，它們研究的對象范圍不相同，否命題僅針對假言命題（即若p則q）而言的，否命題是對一個假言命題的條件和結論都加以否定所得到的新命題（即若 p，則 q ）.而對任意一個命題它的否定都是存在的.其次，從命題的真假來看，命題的否定是原命題的矛盾命題，兩者必有一真一假，而假言命題的否命題則不然，與原命題的真值可能相同也可能相反.

錯解二 此命題為“若p則q”型，而命題的否定只是否定結論，故其否定為“若p則 q”.因而該命題的否定為 p：“若a>b，則a2≤b2”.

剖析：那樣簡單地認為就是“若p則 q”，那是對數理邏輯學不知曉的緣故.如果套用這種否定法寫命題p ：“若x>3，則x>4”的否定：若“x>3，則x≤4”，這樣p和 p都變成假命題了！顯然是錯誤的.

錯解三 此命題為“若p則q”型，屬于假言命題，它的否定是“p∧（ q），”因而該命題的否定為 p：“a>b且a2≤b2”.

剖析：是對數理邏輯中的命題邏輯和謂詞邏輯不能正確區分，將討論命題邏輯的方法機械地搬到了謂詞邏輯中，一概認為“若p則q”型的命題就屬于假言命題，否定是p∧（ q），那又太教條了.

其實“若p則q”的否定是個較為復雜的問題，在數理邏輯學中，對于 命題邏輯 和 謂詞邏輯 討論的對象是不同的.

從命題邏輯的角度來談“若p則q”的否定.在命題“若p則q”中，如果p、q本身是命題，則叫做假言命題，屬于命題邏輯討論的對象，記作“pq”，它的否定是p∧（ q）即“若p則q”的否定是“p∧（ q）”，它是針對假言命題而論的.

從謂詞邏輯的角度來談“若p則q”的否定.在“若p則q”中，如果p、q是開語句，則屬于謂詞邏輯討論的范疇.如命題“若a>b，則a2>b2”中的“a>b”和“a2>b2”，這里“條件”和“結論”都不是命題，而是開語句，中學階段所遇到的“若p則q”大多屬于這一類.從謂詞邏輯的角度來看，“若a>b，則a2>b2”是省略了量詞的全稱型命題，實際意義為“對一切a>b都有a2>b2”，它的否定應該是特稱否定命題：“存在a>b且a2≤b2”.

綜上所述，當p、q是命題時，“若p則q”的否定是“p且 q”；當p、q是開語句時，對于省略全稱量詞的命題“若p則q”而言，它的否定是“存在p，且 q”；對于命題邏輯中的簡單命題，直接用否定詞進行否定.