編制題目從研究課本例題開始

林

【摘要】 課本例、習(xí)題具有典型性，充分利用好例習(xí)題潛在的教育價值，對例習(xí)題進行合理的改編，不但使教學(xué)更加貼近高考的實際，順應(yīng)高考命題的趨向，同時對培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提高教師的專業(yè)素養(yǎng)具有重要的意義.

【關(guān)鍵詞】 編制題目；培養(yǎng)思維；提高素養(yǎng)

2013年5月筆者有幸參加了市命題說題比賽，比賽采用賽前命題現(xiàn)場做題說題的形式，現(xiàn)將賽前的命題情況展示出來，與同行交流.

1.試題的背景素材

人教版《選修5》第三章不等式第四節(jié)基本不等式中的例題1（2）：一段長為36 m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

本題的求解對學(xué)生來說是簡單的，預(yù)計學(xué)生會通過降元或者是基本不等式處理.然而本題實際上是等周問題的一個特例.為此設(shè)想把圍成圖形從矩形改變?yōu)槿切危@樣由于面積計算的方法不同，由此會帶來求解方法的變化，而三角形的面積公式S= 1 2 absinC中，如何轉(zhuǎn)化邊角，進而求出面積的最值的過程，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高思維品質(zhì).

于是考慮編制題目為：一段長為36 m的籬笆圍成一個三角形菜園，問這個三角形的三邊長各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

即三角形三邊長為定值，面積何時最大？

改編后的題用海倫公式和三維的基本不等式能很好解決，但是三維不等式在選修課中才學(xué)習(xí)，況且知道海倫公式的同學(xué)并不多，為了解決這個問題特意去介紹，筆者認為沒必要.再者用例題的方法比較難解決，所以對例題直接這么改，跨度太大.

注意到是二維的基本不等式，所以可以考慮固定一條邊，于是編制了下面這個題目：

一段長為7 m的籬笆圍成一個三角形花壇，要求花壇一邊長為2 m，問這個三角形另兩邊各為多少時，花壇面積最大，最大面積是多少？

為了摒棄較繁瑣的數(shù)字計算，把數(shù)字改了下.

2.解法探究

方法一 化角為邊

S= 1 2 absinC= 1 2 ab 1-cos2C = 1 2 ab 1- a2+b2-4 2ab 2 = 1 2 a2b2- a2+b2-4 2 4

= 1 2 4a2b2- a2+b2-4 2 4 = 1 4 4a2b2- a2+b2-4 2 .

采用消元法

∵a+b=5，∴b=5-a， 1 4 4a2b2- a2+b2-4 2 = 21 2 1-（a-2.5）2 ≤ 21 2 .

a-b <2a+b=5 3 2

這種處理方法直接將二元問題降到一元問題，雖然字母運算麻煩，但是思路簡單.需要提醒的是對a范圍的確定是本題的一個易錯點，預(yù)計學(xué)生容易錯定a的范圍是（0，5），而忽略三角形成立的條件 a-b <2.

方法二 化邊為角：c2=a2+b2-2abcosC，∴4=（a+b）2-2ab-2abcosC，∴2ab= 21 1+cosC ，

∴S= 1 2 absinC= 21 4 sinC 1+cosC .

這種方法關(guān)鍵是確定角C的范圍，利用余弦定理，基本不等式，可以求出角C的范圍.

cosC= a2+b2-c2 2ab = （a+b）2-2ab-c2 2ab = 21-2ab 2ab = 21 2ab -1≥ 21 2 a+b 2 2 -1= 17 25 .

∴C∈（0，θ]，其中θ∈ 0， π 2 且cosθ= 17 25 .

由于角C的最大值不是特殊角，教師要指導(dǎo)學(xué)生正確地表示出角 C的范圍.

求函數(shù)S= 21 4 sinC 1+cosC ，C∈（0，θ]，其中θ∈ 0， π 2 且cosθ= 17 25 的最大值.

預(yù)計學(xué)生可能有四種處理辦法：

處理一：用輔助角公式

4S（1+cosC）=21sinC，4S= 212+（4S）2 sin（C-），

這種方法學(xué)生經(jīng)常使用，但是由于本題的輔助角是未知的，很難運算.

處理二：導(dǎo)數(shù)法

S′= 21 4 sin′C（1+cosC）-（1+cosC）′sinC （1+cosC）2 = 21 4 1 1+cosC >0.

∴當(dāng)C=θ時，S取到最大值，∴S= 21 4 sinC 1+cosC ≤ 21 4 sinθ 1+cosθ = 21 2 .

處理三：利用斜率的幾何意義

sinC 1+cosC = sinC-0 cosC-（-1） ，所以上述式子可以看作是（cosC，sinC）與（-1，0）兩點的斜率，從而求出S的最大值為 21 2 .

這種方法以形助數(shù)，體現(xiàn)了“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”.

處理四：利用三角函數(shù)單調(diào)性

S= 21 4 sinC 1+cosC = 21 4 2sin C 2 cos C 2 2cos2 C 2 = 21 4 tan C 2 .

這種方法預(yù)計學(xué)生不容易想到，但在三角函數(shù)化簡，求解范圍問題時經(jīng)常使用.

方法三 解析法

設(shè)AB=2，BC=a，AC=b根據(jù)橢圓定義，C點的軌跡是以A，B

為焦點的橢圓（除與x軸的交點），顯然點C在橢圓短軸端點處

取得最大值.

方法三體現(xiàn)了解析法在解題中巧妙，拓寬了學(xué)生的解題的視野，也抬高了本題的思維高度.

3.命題效果

通過對例題的改編所得到的題重點考查了不等式、解 三角形等重要知識，入口寬，角度多特別是方法一、方法二中的變形與運算、尋找與設(shè)計合理、要求學(xué)生有較強運算能力，由于問題處理過程中的復(fù)雜性，對學(xué)生良好思維品質(zhì)優(yōu)化提出了更高的要求.方法三用解析法創(chuàng)造性地解決問題，不但體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識.整個求解過程中，綜合應(yīng)用了不等式、解三角形、函數(shù)、解析幾何等知識，滲透了化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

4.教學(xué)導(dǎo)向

（1）本題的命制適用于高三復(fù)習(xí)使用，題目入手容易，但是深入困難，學(xué)生的運算能力要求高，符合高考命題的導(dǎo)向.

（2）教師應(yīng)該重視課本上的例習(xí)題，盡量挖掘課本例題的背景，在此基礎(chǔ)上可以“借題發(fā)揮”進行一題多變，一題多解，強調(diào)通性通法，引導(dǎo)學(xué)生探索問題的本質(zhì)，以達到觸類旁通的教學(xué)效果.同時也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，滲透了數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì).