便捷的函數(shù)方法

函數(shù)思想和方法重在揭示問題的數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)特征，重在對問題的變量的動態(tài)研究，從變量的運動變化、聯(lián)系和發(fā)展角度進行思維.

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，函數(shù)思想方法，主要體現(xiàn)在根據(jù)問題的需要，構(gòu)造函數(shù)模型，從而將所給問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖像、最值等）使問題得以解決.下面就利用函數(shù)思想方法解決不等式問題舉出兩例：

例1 設(shè)不等式mx2-2x-m+1<0對于滿足 m ≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍.

從表面看，這是一個含參數(shù)m（-2≤m ≤2）的關(guān)于x的一元二次不等式問題，實質(zhì)上，本題通過變形化為關(guān)于m的一元一次不等式，且已知它的解集為[-2，2]，求參數(shù)x的取值范圍.用分類討論思想解法如下：

解 原不等式可化為（x2-1）m<2x-1 ①

（1）當(dāng)x2-1=0即x=±1時，式①成立的條件是2x-1>0，所以只有x=1.

（2）當(dāng)x2-1>0，即x<-1或x>1時，由式①得m< 2x-1 x2-1 .

它對一切 m ≤2都成立的充要條件是 2x-1 x2-1 >2.

由此得不等式組 x2-1>0 2x-1 x2-1 >2 解得1

（3）當(dāng)x2-1<0，即-1

由式①得，m> 2x-1 x2-1 .

它對一切m ≤2都成立的充要條件是 2x-1 x2-1 <-2.

由此得不等式組： x2-1<0， 2x-1 x2-1 <-2. 解得 -1+ 7 2

綜合（1）（2）（3）得 -1+ 7 2

從以上解法看比較繁瑣，利用函數(shù)思想可非常容易得出結(jié)論：

解 設(shè)f（x）=（x2-1）m-2x+1（-2≤m≤2）.

當(dāng)-2≤m≤2時，f（m）=（x2-1）m-2x+1<0恒成立，依一次函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)且僅當(dāng)

f（-2）<0，f（2）<0. 即 2x2+2x-3>0，2x2-2x-1<0.

解得 -1+ 7 2

∴x的取值范圍是 -1+ 7 2 ， 1+ 3 2 .

兩種解法對照，顯而易見，構(gòu)造函數(shù)法要簡明得多.

構(gòu)造函數(shù)法，揭示了兩個變量之間的本質(zhì)聯(lián)系.即函數(shù)f（x）=（x2-1）m-2x+1當(dāng)自變量m在[-2，2]上取值時對應(yīng)的函數(shù)值f（m）都小于零（函數(shù)圖像在x軸下方）.依據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，只要m取兩端點值時函數(shù)值f（2）和f（-2）小于零，即滿足題意，所以解不等式組

即得出結(jié)論.

例2 不等式x3- 1 2 x2-2x+c

這是一個求不等式中參系數(shù)問題，我們可通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)，將不等式轉(zhuǎn)化得出結(jié)論.

解 原不等式即為

x3- 1 2 x2-2x

設(shè)f（x）= x3- 1 2 x2-2x.

題目即為當(dāng)x∈[-1，2]時，f（x）= x3- 1 2 x2-2x

f′（x）=3x2-x-2=（x-1）（3x+2）.

由f′（x）=0得x=1或x=- 2 3 .

當(dāng)x變化時，y′，y的變化情況如下表：

使得f（x）= x3- 1 2 x2-2x2解得c<-1或c>2.

∴c的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）.

兩個例題，從表面看是兩個不同題型，但均可采用函數(shù)思想解答.因為兩個問題都反映兩個變量間關(guān)系.例1是已知不等式中參系數(shù)m的取值范圍，求變量x的取值范圍，將問題轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)定義域與函數(shù)值域，求待定系數(shù)x，不等式化歸為關(guān)于m的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)單調(diào)性得解；例2是給定不等式中變量x的取值范圍，求參系數(shù)c的取值范圍，化歸為函數(shù)后，求出函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值得關(guān)于c的不等式，使問題得到解決.

函數(shù)思想方法的應(yīng)用十分廣泛，在此只列舉了兩個含參數(shù)的條件不等式.利用函數(shù)思想將不等式化歸為函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性，最值來處理，使問題解得簡潔、明快、易懂.函數(shù)的偉大就在于此.