是否一定要“分類討論”

分類討論的方法是解決數學問題常用的方法，因分類討論牽涉的面多，解題過程中也容易出錯，因此也要注意指導學生辯證地分析數學問題，不要盲目、機械地進行分類討論.事實上，有不少含有分類因素的數學題，如果能夠在著手討論前對問題作一番深入研究，挖掘其一些隱含條件，靈活采用相應的解題策略，則往往可以簡化或避免分類討論的步驟，從而實現解題過程的優化，提高解題的正確率.

1.著眼全局整體，減少討論次數

例1 設a≥0，在復數集C中解方程Z2+2 Z =a.

分析 此題一般是通過設Z=x+yi（x，y∈R）來解，原方程化為x2-y2+2 x2+y2 +2xyi=a，即 2xy=0x2-y2+2 x2+y2 =a ，對x=0或y=0進行分類，然對x，y的符號進行討論，再后還要對a的取值范圍進行分類，這樣多的分類，在解題過程中有可能就會出現錯誤.利用整體思想，對方程作整體變形，則可減少討論的次數和層次，迅速并正確獲得方程的解.

解 原方程變形為Z2=a-2 Z ∈R，（把a-2 Z 看成一個整體）∴Z為實數或純虛數.

（1）若Z為實數，則Z2= Z 2，此時原方程可化為 Z 2+2 Z -a=0 a≥0 ，

解得Z=± -1+ 1+a .

（2）若Z為純虛數，設Z=±ri（r∈ R ），此時原方程可化為r2-2r+a=0（a≥O），原方程當0≤a≤1時Z=± 1+ 1-a i或Z=± 1- 1-a i；a>1時無純虛數解.

2.等價變形轉換，避開分類討論

例2 設對所有的實數x，不等式x2log2 4 a+1 a +2xlog2 2a a+1 +log2 a+1 2 4a2 >0恒成立，求實數a的取值范圍.

分析 本題的常規解法要分兩類來解，一是二次項系數為0時，二是二次項系數大于0時.而第一種情況往往遺漏，第二種情況即 log2 4 a+1 a >0Δ<0 ，但運算復雜，出錯機率大，我們可以通過等價變形，避免分類討論，使問題簡單化.

解 不等式x2log2 4 a+1 a +2xlog2 2a a+1 +log2 a+1 2 4a2 >0可等價變形為 x2-2x+2 log2 a+1 2a >-3x2，而x2-2x+2= x-1 2+1>0，-3x2≤0是絕對不等式，要使原不等式恒成立，只要log2 a+1 2a >0成立，很快能解得0

3.變更主要變元，解脫繁瑣討論

例3 設函數f（x）=x x-a +b，設常數b<-1，且對任意x∈[0，1]，f（x）<0恒成立，求實數a的取值范圍.

分析 這題的一般解法是：由f（x）<0，即x x-a <-b，∵-b>0，x=0時恒成立，因此只要研究x∈（0，1]時， x-a <- b x 恒成立，即 b x

解 ∵-b>0，x=0時x x-a <-b恒成立，x∈（0，1]時要使 x-a <- b x 恒成立，只要x+ b x x+ b x max （1）a< x- b x min （2） ，由（1）∵b<0，g（x）=x+ b x 在x∈（0，1]時為增函數，∴a>g（1）=1+b；∵b<-1，h（x）=x- b x 在（0，1]上為減函數，a

4.構造輔助圖形，消除討論因素

例4 設橢圓中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率e= 3 2 ，已知點P（0， 3 2 ）到這個橢圓上的點的最遠距離是 7 ，求這個橢圓方程.

分析 用常規方法是利用橢圓的參數方程.因為離心率e= 3 2 ，橢圓方程可為 x2 4b2 + y2 b2 =1，（b>0）橢圓上一點可設M（2bcosα，bsinα），

MP = 2bcosα 2+ bsinα- 3 2 2 = -3b2sin2α-3bsinα+4b2+ 9 4 ，根號內化為以sinα為變元的二次三項式，sinα∈ -1，1 ，對參數b分類討論，運算顯然復雜.能否構造輔助圖形，借助圖形的直觀性，能很容易求出滿足條件的b.

解 如圖，以P（0， 3 2 ）為圓心， 7 為半徑作圓，正好與橢圓相切，切點到P（0， 3 2 ）的距離就是橢圓上的點到P的最遠距離.該圓方程為x2+ y- 3 2 2=7，橢圓方程為 x2 4b2 + y2 b2 =1，聯立方程組消去x得3y2+3y-4b2+ 19 4 =0，兩曲線有切點，即Δ=0，解之b2=1.橢圓方程為 x2 4 +y2=1.

分類討論是重要的數學思想方法，我們應該掌握.但也有它的復雜性，在解題過程中我們要注意靈活性，一方面可以提高解題速度，另一方面可以擴展我們的思維.