要重視數學問題結論的分析與探究

【摘要】 數學中的某些問題，如果用辯證的思維方式，透過問題的現象去看問題的實質，用數學的思想與方法加以概括、抽象就會引起思維的火花，使我們產生嶄新的認識.下面通過求空間中的最短距離，來說明這一幾何問題的代數化.

【關鍵詞】 最短距離；代數化

在初中數學的多面體與旋轉體的習題中和高中數學必修2的立體幾何的習題教學中都設計了類似如下的問題：

已知長方體ABCD-A1B1C1D1的長、寬、高分別為5，4，3，則從A點沿表面到C1點的最短距離是多少？

這一問題許多人都是用分類的方法，利用旋轉的方法或把長方體沿某一條棱展開，把立體問題轉化為平面問題來解決.由于長方體有三條不同的棱，于是有三種不同的情況，解法如下：

解 將長方體展開成平面圖形有下列三種情況：

（1） （2）

（3）

（1）如圖（1），把側面BCC1B1繞BB1旋轉至與側面ABB1A1共面，此時AC1= （5+4）2+32 =3 10 .

（2）如圖（2），把側面DCC1D1繞DC旋轉至與面ABCD共面，此時AC1= 52+（3+4）2 = 74 .

（3）如圖（3），把側面BCC1B1繞BC旋轉至于面ABCD共面，此時AC1= （5+3）2+42 =4 5

因為 74 <4 5 <3 10 ，故點A沿表面到C1的最短距離是 74 .

從上面的解法可以看出，用分類的方法解決這一實際問題自然非常清晰，但每次用這種方法去解決，大多數學生認為比較麻煩.有沒有簡潔的方法呢？我們只需對上面的解法稍微加以分析、推理，用代數的方法去解答就可以得到一個一般的結論，輕松解決我們的問題.在這個問題中，如果把長方體從同一頂點出發的三條棱長分別設為a、b、c，那么利用上面的解法可以得到以下三種情況：

①AC1= a+b 2+c2 = a2+b2+c2+2ab ；

②AC1= b+c 2+a2 = a2+b2+c2+2bc ；

③AC1= a+c 2+b2 = a2+b2+c2+2ac .

比較上面的①、②、③這三個式子，可以發現影響AC1大小的僅取決于a與b，b與c，a與c乘積的大小，要使從A點沿表面到C1點的距離最短，只需AC1最小，即只需讓ab或bc或ac的乘積最小，也即a、b、c中取兩個較小者再作積即可.若a、b、c中不妨設a>b>c，則AC1的最小值為 a2+b2+c2+2bc .這樣一來，只要知道長方體的三條棱長，不用畫圖，就可以用代數方法直接求出AC1的最小值.如在開始提出的問題中，長方體的三條棱長分別為5，4，3，而5>4>3，于是從A點沿表面到C1點的最短距離AC1= 52+42+32+2×4×3 = 74 .

從上面探討問題的過程可以看出，在學習過程中結果的得出并不是問題的結束，更重要的是對結果進行分析，反思解題過程，看看是否能得出更一般性的結論，如在上面求長方體表面兩個相對頂點的最短距離問題可以直接用代數方法去解決.這樣就可以從一道題出發，歸納出一類題的解法，起到觸類旁通的作用.否則就好比自己把飯做好了而棄之一旁，失去了做飯的目的，是非常可惜的.