應(yīng)用題解題策略

【摘要】 特殊化策略即把原問題構(gòu)造成特殊問題，通過對(duì)特殊問題的解決而獲得原問題的解決.特殊化策略在解決選擇題、填空題時(shí)有重要的應(yīng)用，同樣在解決應(yīng)用題時(shí)也有重要的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 應(yīng)用題；情景特殊化；條件特殊化；目標(biāo)特殊化

特殊化策略即把原問題構(gòu)造成特殊問題，通過對(duì)特殊問題的解決而獲得原問題的解決.特殊化策略是一種“退”的策略，就是從復(fù)雜退到簡(jiǎn)單，從一般退到特殊，從抽象退到具體.特殊化策略在解決選擇題、填空題時(shí)有重要的應(yīng)用，同樣在解決應(yīng)用題時(shí)也有重要的應(yīng)用.

1.情景特殊化

例1 某項(xiàng)目要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形坑，挖出的土只能沿道路MQ，NQ運(yùn)到Q處（如圖1），MQ=200 m，NQ=300 m，∠APB=60°.試說明怎樣運(yùn)土才能最省工？

分析 這是一個(gè)最優(yōu)化問題，其情景是工程挖土，學(xué)生對(duì)這些概念缺乏理性的認(rèn)識(shí).把情景特殊化可以幫助學(xué)生對(duì)題意加深理解，使問題得到解決.這實(shí)際上是一個(gè)路程問題，在半圓內(nèi)什么樣的點(diǎn)沿MQ到Q近，什么樣的點(diǎn)沿NQ到Q近.解決這個(gè)問題只要考慮圓內(nèi)什么樣的點(diǎn)沿MQ到Q與沿NQ到Q距離相等這個(gè)情景.

解 MN2=QM2+QN2-2QM·QNcos60°=70000.

圖 1 由題意可得，半圓中的點(diǎn)有三種：

第一種是沿MQ至Q近；第二種沿NQ至Q近；

第三種是沿MQ，NQ到Q同樣近.

第三種是第一第二種的臨界狀態(tài)，設(shè)P是臨界線上的任一點(diǎn)，

則PM+MQ=PN+NQ，

所以PM-PN=QN-QM=300-200=100<100 7 ，

所以點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的一支.以MN所在直線為x軸、MN中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則臨界線的軌跡方程為 x2 2500 - y2 15000 =1（x≥50）.

所以運(yùn)土?xí)r將雙曲線左方的土沿MQ運(yùn)至Q處，右方的土沿NQ運(yùn)至Q處最省工.

該題原來是一個(gè)不等式問題，思考及運(yùn)算都比較復(fù)雜，通過情景特殊化應(yīng)該說問題簡(jiǎn)單了，把不等式問題轉(zhuǎn)化為等式問題來研究.

2.條件特殊化

例2 一幢大樓共有n層，現(xiàn)指定一人到第k層去開會(huì)，問：當(dāng)k為何值時(shí)，才能使所有開會(huì)人員上、下樓梯所走的臺(tái)階數(shù)之和最小？（假設(shè)每層樓梯的臺(tái)階數(shù)都相同，設(shè)為a）

分析 k是自變量，n是參數(shù)，學(xué)生理解困難，無從下手，我們?nèi)粘Ｉ钪?/p>

最常見又和生活最貼近的樓層一般是6層或7層樓，讓學(xué)生從6層或7層樓開始，

如何解決這個(gè)問題，學(xué)生會(huì)得到6層樓（7層樓）時(shí)可能是在3層或4層

開會(huì)所走的臺(tái)階數(shù)之和最小，對(duì)這個(gè)問題產(chǎn)生了很重要的感性認(rèn)識(shí)，對(duì)于n奇偶性不同，會(huì)有不同的計(jì)算結(jié)果.

若n=10，指定一人到第k層去開會(huì)，如何研究，把n特殊化，這個(gè)問題就解決了，例2也就解決了.

如圖若k=4，上、下樓梯所走的臺(tái)階數(shù)之和y=（1+2+3）a+（1+2+3+4+5+6）a，

由此得到當(dāng)在第k層開會(huì)時(shí)，y=[1+2+3+…+（k-1）]a+[1+2+…+（10-k）]a，是關(guān)于k的二次函數(shù)，求當(dāng)k為何值時(shí)y最小.把條件特殊化，使我們找到了解決這個(gè)問題的方法.

解：大樓共有n層，在第k層開會(huì)，每層樓梯的臺(tái)階數(shù)為a，上、下樓梯所走的臺(tái)階數(shù)之和y=[1+2+3+…+（k-1）]a+[1+2+…+（n-k）]a，即y=[ k-1 k 2 + n-k 1+n-k 2 ]a，化簡(jiǎn)得：y= 1 2 a[2k2-2 1+n k+n 1+n ]，∵a>0，k= 1+n 2 時(shí)y最小.因?yàn)閗是非零自然數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，k= 1+n 2 時(shí)y最小；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，k= 1+n±1 2 時(shí)y最小.

條件中含有字母n，k，這正是學(xué)生研究問題中的薄弱環(huán)節(jié)，把條件特殊化（即把n，k特殊化），可以幫助學(xué)生對(duì)問題的理解，從特殊的目標(biāo)函數(shù)中抽象出一般的函數(shù)關(guān)系.

3.目標(biāo)特殊化

例3 A城市的出租車計(jì)價(jià)方式為：若行程不超過3千米，則按“起步價(jià)”10元計(jì)價(jià)；若行程超過3千米，則之后2千米以內(nèi)的行程按“里程價(jià)”計(jì)價(jià)，單價(jià)為1.5元/千米；若行程超過5千米，則之后的行程按“返程價(jià)”計(jì)價(jià)，單價(jià)為2.5元/千米.設(shè)某人的出行行程為x千米，現(xiàn)有兩種乘車方案：（1）乘坐一輛出租車；（2）每5千米換乘一輛出租車.對(duì)不同的出行行程，（1）（2）兩種方案中哪種方案的價(jià)格較低？請(qǐng)說明理由.

分析 本題的目標(biāo)是寫出兩種乘車方案計(jì)價(jià)的函數(shù)關(guān)系式，然后比較它們的大小.對(duì)于（1）學(xué)生不難理解，但要寫出（2）的計(jì)價(jià)函數(shù)關(guān)系式，因“每5千米換乘一輛出租車”是一個(gè)周期問題，要寫出含有周期的分段函數(shù)式學(xué)生在理解和操作上有一定的困難，如何降低難度，我們可以使目標(biāo)特殊化.先考慮0～10千米內(nèi)（1）（2）兩種方案計(jì)價(jià)的函數(shù)關(guān)系式.設(shè)方案（1）的計(jì)價(jià)函數(shù)為f（x），方案（2）的計(jì)價(jià)函數(shù)為g（x）.則

f（x）= 10，0

g（x）= 10，0

比較f（x）與g（x）的大小就容易得多.觀察（2），因其周期為5，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，就能自然寫出f（x）與g（x）.

解：f（x）= 10，05

g（x）= 13k+10，5k

要直接寫出方案（2）的計(jì)價(jià)函數(shù)g（x），確實(shí)存在困難，把目標(biāo)特殊化（即寫出兩個(gè)周期x∈ 0，10 內(nèi)的g（x）），使學(xué)生產(chǎn)生從感性到理性的過度.

4.應(yīng) 用

例4 A，B兩城市相距p（km），汽車從A城市勻速駛至B城市，速度不得超過a（km/h），已知車輛每小時(shí)行駛成本（單位：元）由固定和可變兩部分組成：固定部分為b元.可變部分跟速度v（km/h）的平方成正比，比例系數(shù)為c；問：汽車速度v為多大時(shí)，才能使得全程運(yùn)行成本最小？并求運(yùn)行成本的最小值.

分析 依照題意，汽車從A城市行駛到B城市所需時(shí)間為 p v ，學(xué)生能得到全程運(yùn)行成本為

y=p b v +cv ，v∈ 0，a ，并通過p（ b v +cv）≥2p bc ，當(dāng)且僅當(dāng) b v =cv即v= b c 時(shí)求得y的最小值為2p bc .顯然這種解法是錯(cuò)誤的，原因在什么地方？因?yàn)関∈ 0，a ， b c 是否在區(qū)間 0，a 內(nèi)，這就要研究 b c 與a的大小.為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這個(gè)問題的認(rèn)識(shí)，可以把a(bǔ)、b、c特殊化，例a=2，b=9，c=1，v= b c =3 0，2 ，加深了學(xué)生的影響.如何研究這個(gè)問題，給學(xué)生提供了一次很好的鍛煉機(jī)會(huì).

解 由y=p（ b v +cv），v∈ 0，a ，（1）若 b c ≤a時(shí)，p（ b v +cv）≥2p bc ，v= b c 時(shí)求得y的最小值為2p bc ；（2） b c >a時(shí)，可以證明y=p（ b v +cv），v∈ 0，a 為減函數(shù)（略），即v=a時(shí)求得y的最小值為p b a +ca .

總之，用特殊化方法對(duì)應(yīng)用題的研究、對(duì)問題的解決能取得很好的作用，它不但能提供解決問題的較好方法，更重要的是能提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，在平時(shí)的教學(xué)中要引起我們足夠的重視.