論高中數學應用題的最值問題

【摘要】 對于高中數學的應用題教學而言，其最值問題是題型新穎、最接近實際的數學應用問題.本文首先研究高中數學應用題最值問題的一般步驟，探討了在高考中應用題的地位，然后通過函數最值問題，對高中數學應用題最值問題進行了深入分析，希望能夠幫助學生在今后高中數學應用題最值問題解答中更加輕松.

【關鍵詞】 高中數學；應用題；最值

高中數學中應用題部分有關最值的問題屬于貼合實際，背景比較復雜而且題型比較新穎的一類數學應用方面的問題，當我們解決這一類問題時，通常我們會將其從實際中抽象成為一種數學問題，建立起恰當的數學模型，進而通過求解這個數學模型來解決這個實際的問題！ 對高中數學中應用題部分的最值問題的教學以及解題思路等，有利于對學生進行應用意識培養的開展，從而提高學生們在現實生活中解決實際存在的問題的能力.

一、高中數學應用題的最值問題解題步驟

在對高中數學應用題的最值問題解答時，教師首先要教會學生解題的步驟，只有正確地掌握，才能幫助學生理順解題步驟，讓學生按照一定的“程序”來解題，才能讓學生感覺到解題的輕松.

（一）讀 題

讀題是建模的第一個環節.通過讀題排除無用信息，提煉有效信息，尤其有些題的文字敘述長，數據繁多，更要引導學生克服煩躁，恐懼的心理，冷靜閱讀，抓住要害，可將文字敘述適當地刪減，壓縮，找到關鍵性的語言，使問題簡單明了.

（二）建 模

利用建模，可以將實際的文字語言轉化成為特定的數學圖形語言和符號語言.而正確地建立出數學模型，就能夠幫助學生解決數學應用題中所面臨的最值問題.

（三）求 解

對數學模型的求解就是得到數學結論的過程，這需要注重模型中一些量的實際意義.對求解過程進行優化.在考試環節失分大多數都是因為計算與代數式的變換與變形開始的，所以，注重平時的練習，杜絕眼高手低，才能幫助學生順利推演.

（四）還 原

如果可以將所得到的數學結論還原到日常生活的實際問題之中，就可以滿足實際問題解答的作用.

二、高考中應用題最值問題的地位

高中數學應用題是對綜合知識的考查，是聯系并整合各個方面知識的關鍵，而最值問題又是應用題中出現頻率最高的問題之一.通過最近五年高考數學試題的統計數據來看，考查應用題最值問題的頻率不減反增，只不過針對知識背景以及考查的方式出現了較大的變化.各個省市都加大了對最值問題的考查力度，特別是江蘇省，加大了涉及函數問題的最值問題的考查力度，將不等式與幾何等實際問題的最值問題考查力度相應減少.

在實際應用當中解決最值問題，背景越來越復雜，這主要是對學生思維能力及逆行考查，通過數學知識的聯想、遷移以及應用等方式來解決實際中面臨的問題.站在學生的角度上來看，往往就會感覺到較強的綜合性以及方法的靈活性，導致學生無從下手，在高考中頻頻失分，同時還存在“對而不全、會而不對”的尷尬局面.所以，在高中數學教學中，應該注重學生數學應用意識與能力的培養.

三、高中數學應用題最值問題解法——函數

在高中數學教學中，涉及函數應用的問題背景深刻、題源豐富、解答靈活，一直都是高考的熱點題型.而函數應用題最值問題又是重點，歷來被學習者認為是難題，其實，最值問題多是和函數相聯系，要求我們在問題的變化過程中去追逐不動的最值點，研究這個不動點，使問題得以解決.很多函數類型的應用題都會涉及“最優化方案”，其解題的方法一般是建立出目標函數，然后將其轉化成為目標函數最值問題的解答.

在解答函數模型時，利用單調性、數形結合法、判別式法、利用基本不等式等方法是最常見的措施，下面針對實際的問題，對于采用的方法進行具體的分析.

例題：某單位計劃使用2060萬元購買一塊空地用于建造超過10層的樓房，且每一層面積為2000平方米.通過費用測試，如果樓層x≥10層，則每一平方米需要耗費560+48x的費用.為了滿足每一平方米最低的綜合費用消耗，該樓房應該建設多少層？（平均購地費用=購地總費用/建筑總面積，平均綜合費用=平均購地費用+平均建筑費用.）

解題方式一：設每一平方米的平均綜合費用為f（x），那么

f（x）=（560+48x）+ 2160×10000 2000x =560+48x+ 10800 x （x≥10，x∈ Z +），

這里所用的是基本不等式來求函數的最小值，

f（x）=560+48x+ 10800 x =560+2 48x· 10800 x =560+2×720=2000.

當48x= 10800 x 的時候，等號成立，可以得到x=15.也就是該樓房為15層的時候，每一平方米的平均綜合費用是最少的.

解題方法二：設每一平方米的平均綜合費用為f（x），那么

f（x）=（560+48x）+ 2160×10000 2000x =560+48x+ 10800 x （x≥10，x∈ Z +）

f′（x）=48- 10800 x2 ，當f′（x）=0，得到x=15.如果x>15，那么f′（x）>0；當0

點評：本題目主要是對函數關系式進行考查，也就是函數模型，求出函數最小值.如果要求某變量的最值，就需要將變量的函數關系找出來，而本題就是平均綜合費的函數關系.題目雖然從表面看起來很復雜，但是讀到最后就會發現在注示中已經給出了平均綜合費的函數關系式，只需要帶入數值即可.本題使用了基本不等式和導數兩種求解方法，所以，對同一個問題，其解決方法也并非是唯一的.

四、高中數學教學中應用題最值問題應用策略

（一）懂得轉變思想，重視應用數學知識

在新課程標準中指出：在實際的教學過程中，要懂得觀察知識的背景，強化知識點與現實生活的聯系，這樣就可以讓學生利用簡單的知識去解決實際生活中面臨的問題，讓學生感受到自己學到的知識是有用的，并非想象中那樣“一無是處”，這樣就能夠激發學生學習的熱情.

（二）與其他學科相互聯系，培養數學知識的應用意識

華羅庚教授曾描述：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學”.由于高中學生在認識數學價值上不夠全面，所以，只有教師進行正確的引導，才能在簡單的問題上讓學生感受到數學知識與其他學科知識之間是相互聯系的，這樣不僅可以將數學工具性與基礎性的價值體現出來，同時也能呈現其應用價值.

（三）加強實際應用，提升解決應用題最值的能力

無論是何種學習，其根本目的都是應用.在實施新課程之后，教材也為學生提供了很多數學內外問題解決的機會，幫助學生強化對數學本質概念的理解，讓學生將知識與實際的生活聯系起來，懂得運用一些方法和數學知識來解決實際問題.在數學實際應用問題的教學中，主要是為了提升學生的數學思維能力，將數學方法、數學思想、數學知識都聯系到實際的生產或者是聯系到其余的學科上，幫助學生更加深入透徹地理解社會、生活以及自然界，幫助學生調節自我心理，懂得激發學生的學習興趣，這樣就能夠形成良好的思維品質，培養學生的創新精神以及學生的實際應用能力.

五、結 語

綜上可知，隨著社會對學生應用意識等方面要求的提高，高中階段數學應用題中有關最值問題的解題教學的重要性已經被體現了出來，并且受到了廣泛的關注.通過實際考察研究我們也發現高中階段數學有關最值的應用題的學習對于學生各方面能力的提升都有很大的幫助，不僅可以提高學生解決問題的能力，還能提高學生的文化功底，對于學生們問題轉換能力的提高也有一定程度的幫助.因此，高中階段數學應用題中有關最值問題的解題教學的展開是十分有必要的.

【參考文獻】

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