從定積分概念的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)談對(duì)“微元法”的理解

【摘要】 定積分概念是《高等教學(xué)》課程中的核心概念，與極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分及不定積分有著密切聯(lián)系.“微元法”是定積分理論應(yīng)用于實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)分析方法，是理論應(yīng)用于實(shí)踐的簡(jiǎn)化形式.但在初學(xué)者的學(xué)習(xí)中，普遍存在將這些概念割裂開來，不能有機(jī)地聯(lián)系在一起，導(dǎo)致應(yīng)用“微元法”只停留在機(jī)械模仿的層次上.本文從定積分概念的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)分析出發(fā)，給出尋找“微元”的一般方法，對(duì)定積分概念的理解和“微元法”的掌握提出了一個(gè)有益的參考思路.

【關(guān)鍵詞】 定積分概念；數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；微元法理解

布魯納的認(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)論認(rèn)為，知識(shí)結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)有助于對(duì)知識(shí)的理解和記憶，也有助于知識(shí)的遷移.但其中相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)要在學(xué)生的頭腦中形成一個(gè)結(jié)構(gòu)，并達(dá)到真正理解，還需要一個(gè)“螺旋式”的認(rèn)知過程.對(duì)定積分概念的結(jié)構(gòu)分析，既有助于將定積分的數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)與心理認(rèn)知結(jié)構(gòu)統(tǒng)一起來，更有助于學(xué)習(xí)者對(duì)“微元法”的數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行積極主動(dòng)的意義構(gòu)建，從而達(dá)到對(duì)定積分概念更深層次的理解和掌握.

一、定積分概念的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

根據(jù)高等數(shù)學(xué)我們知道，對(duì)于有界函數(shù)f（x），x∈[a，b]，在閉區(qū)間[a，b]上的定積分定義表達(dá)式為

∫baf（x）dx=lim λ→0 ∑ n i=1 f（ξi）Δxi=f（ξ1）Δx1+f（ξ2）Δx2+f（ξ3）Δx3+…+f（ξi）Δxi+…

其中，λ=max 1≤i≤n {Δxi}，ξi∈[xi-1，xi].

不妨設(shè)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則無論閉區(qū)間[a，b]如何分，ξi∈[xi-1，xi]如何取，所得到無窮多項(xiàng)f（ξi）Δxi和的值（定積分的值）都存在且唯一確定的.即定積分的值是由函數(shù)f（x）（稱為被積函數(shù)）與其定義區(qū)間[a，b]（稱為積分區(qū)間）唯一決定的，其值是在λ=max 1≤i≤n {Δxi}趨于零變化過程中，f（ξi）Δxi（i=1，2，…，n，…）無窮累加的和.如何認(rèn)識(shí)這個(gè)“和”呢？首先，這種“和”已不是一般意義的代數(shù)和，它與有限項(xiàng)的和有著本質(zhì)的區(qū)別，它是借助有限項(xiàng)的和∑ n i=1 f（ξi）Δxi的極限來認(rèn)識(shí)無限項(xiàng)的和，本質(zhì)上是一種極限問題，即∫baf（x）dx=lim λ→0 ∑ n i=1 f（ξi）Δxi，它是事物無限運(yùn)動(dòng)變化在量的方面的反映，是有限與無限的辯證統(tǒng)一.其次，∫baf（x）dx=lim λ→0 ∑ n i=1 f（ξi）Δxi作為某一個(gè)量 F 而言，在閉區(qū)間[a，b]上具有可加性且連續(xù)分布.

因此，被積函數(shù)f（x）與積分閉區(qū)間[a，b]就成為定積分的兩個(gè)基本構(gòu)成性要素，乘積f（ξi）Δxi是定積分的過程性要素.定積分的值是這些要素的相互聯(lián)系、相互作用、從有限到無限運(yùn)動(dòng)變化的結(jié)果.

設(shè)量F 在閉區(qū)間[a，b]上具有可加性且連續(xù)分布.不難想象量F 在閉區(qū)間[a，b]上被分割的部分量為ΔFi（i=1，2，3，…），可以看成是F（x）在點(diǎn)x變到x+Δx時(shí)的增量ΔF，不妨令ξi取x，Δxi=Δx，則部分量 ΔFi 用線性函數(shù)f（ξi）Δxi 近似代替的過程，可以表示為ΔF≈f（x）Δx.

又在λ=max 1≤i≤n {Δxi}趨于零的過程中，Δx=dx，根據(jù)微積分基本定理（如圖），我們知道

F′（x）= ∫xaf（t）d t ′=f（x）

即

dF=F′（x）dx=f（x）dx，ΔF≈f（x）Δx=f（x）dx=dF，

也就是說，將F無限分割的過程，就是求F 的微分過程.數(shù)學(xué)上把dF=f（x）dx稱之為微元素（簡(jiǎn)稱微元）.從定積分定義表達(dá)式結(jié)構(gòu)上說，尋找量F的微元dF=f（x）dx是計(jì)算F=∫baf（x）dx的關(guān)鍵.有了微元就可以根據(jù)微積分基本公式（牛頓—萊布尼茲公式），將定積分

∫baf（x）dx=lim λ→0 ∑ n i=1 f（ξi）Δxi

和式極限的計(jì)算，轉(zhuǎn)化為求f（x）的原函數(shù)F（x）在[a，b]上的增量，即

∫baf（x）dx=F（b）-F（a）.

事實(shí)上，在微積分發(fā)展史上，正是微積分基本定理架起了微分與積分之間聯(lián)系的橋梁，它不僅給出了計(jì)算定積分的有效方法，而且在理論上標(biāo)志著微積分完整體系的形成.

二、對(duì)微元法的數(shù)學(xué)理解

從古希臘阿基米德的“窮竭法”、劉徽的“割圓術(shù)”、開普勒的“行星運(yùn)動(dòng)三大定律”，到牛頓——萊布尼茲微積分理論的初步確立，其基本思想方法可以概括為“分割取近似，求和取極限”.在解決具體問題時(shí)，這一方法主要針對(duì)求某一總量問題，例如求面積、體積、質(zhì)量、功、液體壓力等，是具有可加性連續(xù)分布的量.用定積分去計(jì)算這個(gè)量F 時(shí)，按照定積分的結(jié)構(gòu)分析知道，首先，必須要構(gòu)建出兩個(gè)基本構(gòu)成性要素 —— 與量 F 有關(guān)的函數(shù)f（x）及其定義區(qū)間[a，b]；其次，尋找出其過程性要素 —— 量F 在區(qū)間[a，b]上與任一小子區(qū)間[x，x+Δx]相對(duì)應(yīng)的部分量ΔF的微分dF，即微元素dF=f（x）dx，然后計(jì)算F=∫baf（x）dx.這就是現(xiàn)行教材中所說的“微元法”.但教學(xué)中應(yīng)用“微元法”解決具體的幾何和物理上的問題時(shí)，往往會(huì)流于機(jī)械記憶和模仿.如何理解性地加以應(yīng)用呢？

首先要明確的是一個(gè)連續(xù)變量的求和問題.為了便于理解，把所求的量F分割成部分量ΔF，F(xiàn)看成是某個(gè)變量的函數(shù)，如F（x），則其導(dǎo)數(shù)F′（x）（x點(diǎn)處一個(gè)度量單位上函數(shù)F（x）的增量，即F（x）在x點(diǎn)的變化率）與Δx乘積，即F′（x）Δx是F（x）在區(qū)間[x，x+Δx]上增量ΔF的近似值，此時(shí)Δx被當(dāng)作相對(duì)靜止的有限量.其次，令Δx→0，此時(shí)Δx=dx，dF=F′（x）dx.在實(shí)際問題中，它是局部范圍內(nèi)的以“直”代“曲”，以“不變”代“變”，以“規(guī)則”代“不規(guī)則”的過程.然后根據(jù)具體條件找出微元dF=F′（x）dx=f（x）dx，恰當(dāng)選取微元是應(yīng)用“微元法”解決問題的關(guān)鍵.

在幾何的應(yīng)用上，微元的確定應(yīng)抓住微元的幾何意義進(jìn)行突破.如在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線所圍成的封閉圖形的面積A，微元dA=A′（x）dx是圖形在區(qū)間[x，x+dx]上一個(gè)小矩形的面積；旋轉(zhuǎn)體的體積V，微元dV=V′（x）dx是旋轉(zhuǎn)體在區(qū)間[x，x+dx]上一個(gè)小圓柱體的體積；在極坐標(biāo)系下，曲邊扇形的面積A，微元dA=A′（θ）dθ是曲邊扇形在區(qū)間[θ，θ+dθ]上一個(gè)小圓扇形的面積等.

在物理的應(yīng)用上，微元的確定應(yīng)抓住微元的物理意義進(jìn)行突破.如變力f（x）沿位移方向作功W，dW=W′（x）dx是恒力f（x）在位移區(qū)間[x，x+dx]上對(duì)物體所作的功；以速度v（t）沿直線運(yùn)動(dòng)物體的路程S，dS=S′（t）dt是物體以速度v（t）在時(shí)間區(qū)間[t，t+dt]上勻速運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程；以密度ρ（x）非均勻分布的細(xì)棒質(zhì)量M，dM=M′（x）dx是細(xì)棒在長(zhǎng)度區(qū)間[x，x+dx]上以密度ρ（x）均勻分布的質(zhì)量等.

值得指出的是對(duì)于抽水作功問題，微元的選取在學(xué)習(xí)中很難理解.有些教材中只說明“已不是變力作功問題，但仍可以用微元法”.如何理解用微元法求抽水作功問題呢？首先，抽水過程是連續(xù)變化的，所做的功W 不妨理解為是關(guān)于水深x的可導(dǎo)函數(shù)W（x），則W′（x）是水深x處的一個(gè)單位深度上功的增量，W′（x）與Δx乘積就是功W 在深度區(qū)間[x，x+Δx]上的增量ΔW的近似值，即ΔW≈W′（x）Δx，其物理意義是將厚度為Δx的薄層水抽出經(jīng)過位移x所做功的近似值，此時(shí)Δx被當(dāng)作相對(duì)靜止的有限量.其次，令薄層水厚度Δx→0，此時(shí)Δx=dx，即功的微元dW=W′（x）dx，再由物理學(xué)知識(shí)算出將厚度為dx的薄層水抽出經(jīng)過位移x所做的功，即得到功的微元dW.

綜上所述，應(yīng)用“微元法”求某一連續(xù)可加性總量F 時(shí)，dF=F′（x）dx是F 在區(qū)間[x，x+dx]上增量ΔF的近似值，然后根據(jù)問題的具體意義尋找微元dF=F′（x）dx=f（x）dx，這樣解決問題的思路就清晰了.

例如，在求y=sinx，x∈[0，π]與x軸圍成的圖形繞y軸所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積V時(shí)，微元dV=V′（x）dx是旋轉(zhuǎn)體在區(qū)間[x，x+dx]上一個(gè)高為y=sinx，x∈[0，π]小圓環(huán)柱體的體積，則

dV=2xπsinxdx.

V=∫π02xπsinxdx=2π2.

【參考文獻(xiàn)】

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