《線性代數》學習過程中的思考之一

《線性代數》是理工類、經管類等非數學專業的重要基礎課程.其主要任務是夯實數學基礎，培養學生的邏輯思維、定量分析、科學計算的數學能力，提高數學素養.

矩陣是《線性代數》中最基本也是最重要的概念之一，幾乎《線性代數》的所有概念或應用中都可以見到矩陣的身影.作為矩陣的核心，矩陣的初等變換極其重要，本文將對矩陣的初等變換做以簡單介紹與總結.

一、矩陣初等變換的定義

已知任意矩陣Am×n，以下三種變換：

1.交換Am×n的任意兩行（列）；（記為：rirjorcicj）

2.用任意非零常數k數乘Am×n的某一行（列）；（記為：kriorkci）

3.將Am×n某一行（列）的k倍加至Am×n的另一行（列）.（記為：kri+rjorkci+cj）中，對行進行的稱為矩陣Am×n的初等行變換，對列進行的稱為矩陣Am×n的初等列變換，統稱為矩陣Am×n的初等變換.

二、矩陣初等變換的應用

1.將任意矩陣Am×n化為特殊矩陣：

Am×n 初等行（列）變換 階梯形矩陣B 初等行（列）變換 行最簡型矩陣C

初等行（列）變換 等價標準型矩陣D= I OO O .

2.求任意矩陣Am×n的秩r A

步驟：（1）Am×n 初等變換 階梯形矩陣B；

（2）r B =B的非零行數=r；

（3）r B =r A =r

3.求可逆矩陣An×n的逆矩陣

步驟：（1）拼接： AIn

（2）初等行變換： AIn 初等行變換 InA-1

（3）因為An×n可以經過初等行變換化為n階單位矩陣In，所以An×n可逆，并且n階單位矩陣In經過相同的初等變換可變為A-1；否則，即若An×n不可以經過初等行變換化為n階單位矩陣In，那么，An×n不可逆.

注：以上可稱為逆矩陣的初等行變換法，同理，可以給出初等列變換求逆矩陣的方法.

4.矩陣的初等變換在消元法求解線性方程組Am×nX=b中的應用：

（1）線性方程組有解判別定理：Am×nX=b有解r A =r Ab =r；若r=n方程組有唯一解，若r

（2）消元法求解線性方程組Am×nX=b.

5.矩陣初等變換在向量組線性表示與向量組線性相關性中的應用

（1）判斷向量能由向量組線性表示的定理：

列向量β能由列向量組α1，α2，…，αn線性表示由列向量組α1，α2，…，αn拼接的矩陣的秩=由列向量組α1，α2，…，αn與列向量β拼接的矩陣的秩.

（2）判斷列向量組α1，α2，…，αn線性相關性定理：

列向量組α1，α2，…，αn線性相關由列向量組α1，α2，…，αn拼接的矩陣的秩<向量組中的向量個數n.

6.利用矩陣的初等變換求向量組的秩與極大線性無關組

7.求矩陣的特征值與特征向量

8.矩陣的對角化問題

9.矩陣的初等變換法化二次型為標準型

其實，有的同類教材里，也將類似于矩陣初等變換的行列式中的三個性質，稱為“行列式的初等變換”.

三、小 結

從以上矩陣的初等變換的應用我們看到，它幾乎貫穿《線性代數》的始終，掌握矩陣的初等變換的應用，是掌握《線性代數》課程主要運算的方法之一，也是學習這門課程的一個捷徑吧！