Riemann積分的學習與研究

【摘要】 我們利用函數級數的Cauchy收斂準則的思想來定義Cauchy積分，并證明在一定的條件下Riemann Integral與Cauchy Integral是等價的.

【關鍵詞】 Riemann Integral；Cauchy Integral；等價推廣與研究

【中圖分類號】 O175 【文獻標識碼】 A

一、引 言

Riemann Integral重要性不言而喻，他對于處理諸如逐段連續的函數，以及一致收斂的級數來說是足夠的.然而，隨著點集理論工作的深入，人們越來越多的接觸到了一些比較奇特的現象，所以研究好Riemann Integral對解決上述現象有著非常重要的作用.

二、正 文

定義1 設f（x）是定義在[a，b]的函數，J是一個確定的實數.若對任給的正數ε，總

存在某一正數δ，使得對[a，b]的任意分割T，以及在其每個分割區間[xi-1，xi]上任意選取的點集 ξi ，只要滿足‖T‖<δ，就有 ∑ n i=1 f（ξi）Δxi-J <ε.

那么我們稱f（x）在[a，b]上Riemann可積.

我們仿照函數級數的Cauchy收斂準則的思想來定義如下的Cauchy積分：

定義2 設f（x）是定義在[a，b]的一個函數，G是對函數定義域分割Ti構成的一個集合，記為G={T1，T2，T3，…，Tn}，令S（T）=∑ n i=1 f（αxi-1+βxi）（xi-xi-1），其中α+β=1，且α，β∈[0，1]對于任給的正數ε，存在某個正數δ（ε）， 使得對任意的Ti，Tj∈G，只要滿足‖Ti‖<δ，‖Tj‖<δ，就有|S（Ti）-s（Tj）|<ε ，成立，那么我們稱f（x）在[a，b]是Cauchy可積的.

我們有上述兩種定義可以推得下列成立：

推論1 若函數f（x）在[a，b]上面是不變號的，那么f（x）在[a，b]Riemann可積的充分必要條件是f（x）在[a，b]上是Cauchy可積的且積分值是相等.

證明 必要性是顯然的.現在我們來證明其充分性.

充分：因為f（x）在[a，b]上是Cauchy可積的，所以我們將[a，b]進行2n等分，Tn：a=x0

滿足xi-xi-1= b-a 2n .

要證Cauchy積分在上述條件下與Riemann積分是等價的，我們只需證明：lim n→∞ ∑ 2n i=1 f（ξi）（xi-xi-1）=（C）∫baf（x）dx

因為f（x）在[a，b]上是Cauchy可積的，所以對任意ε>0，存在δ>0，使得對于[a，b]的任意分割T只要‖T‖<δ就有：

我們取充分大的自然數N，使得當n>N時有 b-a n <δ，現在在滿足 b-a n <δ的基礎上對[a，b]進行2n等分，并且在每個小區間[xi-1，xi]上任意取一點ηi，（i=1，2，3，4，…2n），作如下的一種分割：

結語

學習一門學科是學習這門學科的思想，數學這門學科是許多著名的數學家思想的集合，數學的發展是對數學思想的發展，是對前人思想的繼承與發展，所以學習好數學這門學科，關鍵是學習其中的數學思想.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].第四版.北京：高等教育出版社，1990：203-204.