圓錐曲線中的易錯問題

【摘要】 圓錐曲線問題所涉及的知識點較多，問題情形較復(fù)雜，因此在解題時往往會因考慮問題不周全，而使得答案漏解或多解，容易出錯，本文歸納了圓錐曲線中常見的易錯問題，并結(jié)合例題分析了出錯的原因.

【關(guān)鍵詞】 圓錐曲線；焦點；離心率；位置關(guān)系

圓錐曲線一直以來是中學(xué)數(shù)學(xué)的重、難點，有著特殊的地位，由于它所涉及的知識點較多，對解題方法的要求較高，問題情形較復(fù)雜，所以學(xué)生們做題時往往會出現(xiàn)“會而不對”的現(xiàn)象[1]，如何避免這種情況的發(fā)生，對學(xué)生掌握圓錐曲線的解題方法有著直接的關(guān)系，為此，本文列舉了一些在圓錐曲線中常見的易錯類型，以便引起高中生的注意.

易錯點一：圓錐曲線中有關(guān)焦點，離心率等的易錯問題

例1 已知橢圓 x2 2 + y2 m =1 m > 0 的離心率為 1 2 ，求解m的取值.

錯解 由橢圓離心率可知e= c a ，所以e2= c2 a2 = a2-b2 a2 = 2-m 2 = 1 4 m= 3 2 .

錯因分析 在做題時沒有考慮橢圓焦點可能在x軸上，也有可能是在y軸上的情形.

正解 當(dāng)焦點在x軸上時，由橢圓離心率知：e2= c2 a2 = a2-b2 a2 = 2-m 2 = 1 4 m= 3 2 ；

當(dāng)焦點在y軸上時，由橢圓離心率知：e2= c2 a2 = a2-b2 a2 = m-2 m = 1 4 m= 8 3 .

綜上所述：m的值為 3 2 或 8 3 .

易錯點二：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的易錯問題

例2 求過點P 0，1 且與拋物線y2=2x只有一個公共點的直線方程.

錯解 設(shè)直線的方程為y=kx+1，將其代入y2=2x得k2x2+2 k-1 x+1=0（①），則可知Δ=4 k-1 2-4k2=0k= 1 2 ，所以所求的方程為y= 1 2 x+1.

錯因分析 一是忽略了直線斜率存在與否的情況，二是肯定了方程（①）是二次方程.

正解 直線斜率不存在時，直線x=0是切線，符合題意.

直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為y=kx+1，代入y2=2x得k2x2+2 k-1 x+1=0（①），

當(dāng)k=0時，直線y=1與拋物線只有一個交點.

當(dāng)k≠0時，則Δ=4 k-1 2-4k2=0k= 1 2 ，直線方程為y= 1 2 x+1.

綜上所述：直線方程為x=0，y=1或y= 1 2 x+1.

易錯點三：忽視圓錐曲線本身的限制條件而致錯

例3 設(shè)雙曲線的中心在原點，焦點在y軸上，離心率為 5 2 ，若P（0，5）到雙曲線上的點的最近距離為2，求雙曲線方程.

錯解 由雙曲線的離心率e= c a ，得e2= c2 a2 = a2+b2 a2 = 5 4 a=2b，則可設(shè)雙曲線方程為 y2 4b2 - x2 b2 =1.P到雙曲線上的點Q（x，y）的距離為d，則d2=x2+ y-5 2= 1 4 y2-4b2 + y-5 2= 5 4 y-4 2+5-b2，所以當(dāng)y=4時，d2min=5-b2=4b2=1，a2=4，所以所求的雙曲線方程為 y2 4 -x2=1.

錯因分析 在考慮y的取值時，沒有考慮y本身的取值范圍，疏忽了雙曲線本身的隱藏條件.

正解 由題知， y 的取值范圍為 2b，+ ∞ ，所以（1）當(dāng)4≥2b即0

綜上（1）（2）所述：雙曲線的方程為 y2 4 -x2=1或 x2 49 - y2 49 4 =1.

易錯點四：忽視圓錐曲線自身的特征而致錯

例4 已知直線y=kx-5與曲線y=x2-4x+3在第一象限有公共點，則求解實數(shù)k的取值范圍.

錯解 由題知，曲線與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點，直線與y軸交于C（0，-5），所以kAC=5，kBC= 5 3 ，則當(dāng)k>5時，直線與曲線在第一象限有交點.

錯因分析 忽視了拋物線的增長速度比直線的增長速度快.

正解 （1）曲線在第二象限時，直線與曲線在第一象限無交點；（2）當(dāng)0 5 3 ；（3）當(dāng)x的取值大于5時，直線與曲線的交點在有色小區(qū)域，所以交點都在第四象限.

綜上（1）（2）（3）可知，k的取值范圍為 5 3 ，+∞ .

【參考文獻】

[1]曹紅梅.圓錐曲線問題易錯剖析[J].高中數(shù)理化（高三版），2007（11）.

[2]祁居攀.圓錐曲線易錯點剖析[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)（高中版），2010（09）：8-10.

[3]陳先睿.圓錐曲線中易錯問題思考[J].科學(xué)時代，2013（02）.