基于數學美育和能力訓練的“圓的標準方程”教學設計

【摘要】 數學美育可以影響學生的情感，健全學生的人格，提升學生的職業能力.本文以圓的標準方程的教學設計為例進行了相關的闡述.

【關鍵詞】 數學美育；職業能力；圓的方程；教學策略

哲學家羅素說：“數學，如果正確地看她，不但擁有真理，而且也具有至高的美”.數學美是蘊藏于數學所特有的抽象概念、公式符號、幾何圖形、命題模型、結構系統、推理論證、思維方法等之中的簡單、和諧、嚴謹、奇異等形式，它揭示了自然的規律性，是一種真實的科學美.

美育對于培養學生健康的審美觀念和審美能力，陶冶高尚的道德情操，培養全面發展的職業人才具有重要作用，不僅可以影響學生的情感和意志，還可以健全學生人格的發展.愛因斯坦說：“用專業知識教育人是不夠的，通過專業知識他可以成為一種有用的機器，但不能成為和諧發展的人，要使學生對價值有所理解并產生熱烈的情感，他必須獲得美和道德上的鮮明的辨別力”.

一、教學策略與設計思路

筆者參加了2014年江蘇省職業學校“兩課評比”的無錫市評委工作和對省賽選手的指導工作，江蘇省“示范課”第一名獲得者郭群老師的“圓的標準方程”的教學設計，能以職業教育的新理念“以學生為主體，能力為本位、就業為導向”為指導，結合陶行知的生活教育理論，在課堂教學中，從學生的生活背景和已有生活體驗出發，實現數學教學的生活化，并以“數學美”為主線貫穿于教學的始終.

在設計思路上，通過課前數學課程網站或教師博客輔助學生進行準備，讓有條件的學生上網搜索圓的知識，到生活中去找找圓的身影，讓學生初步感受到圓的奇妙，發現數學美；課上利用環環相扣的問題串讓學生動口，讓探究活動層層深入，利用圓規、坐標紙讓學生動手和動腦，利用幾何畫板模擬實驗做動態演示，引導學生自主探究，給學生創造主動參與的學習機會，也讓學生進一步感受到數學美；另外在教學中把抽象的和學生認為空洞的數學知識變為實實在在、血肉豐滿的實例，同時使學生積極主動地將學到的數學思想、知識技能和方法運用到現實生活中去分析、解釋并解決一些生活中的問題，從而培養學生數學的應用意識，再次讓學生深層次地體會到數學美；課后通過作業和問卷調查讓學生進行自我評價，師生之間、生生之間相互取長補短，共同發展，學生自主建構知識體系.

教學過程流程圖：課程網站或教學博客助預習——創設情境發現美——深入探究體驗美——應用舉例運用美——反饋訓練形成方法——小結歸納思維整合——布置作業課后拓展——評價反饋.

二、教學實施過程

（一）找找圓（數學情境）

課前讓學生上網搜索并了解了一些圓的知識：

http：//www.baike.com/wiki/ % E5 % 9C % 86 % E5 % BD % A2 .

師：從古到今，圓在我們生活中是無處不在的，許多物體都給我們以圓的形象，為什么會有這么多的圓形呢？因為圓給我們以美感！下面就請各組代表上臺來展示一下收集成果，讓他們領著大家走進圓的世界來看一看：（圖片PPT展示，略）

（二）回顧圓（數學問題）

師：我國是世界上最早研究圓的國家，早在2000 多年前，我國的墨子作出了圓的概念：“圓：一中同長也”.這個定義比希臘數學家歐幾里得給圓下定義要早1000 多年.

問題1：我們初中所學的圓的定義是什么？

初中圓定義：到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形，叫做圓.

歸納1：平面內到一定點的距離等于定長的點的軌跡.（其中定點叫做圓心，定長叫做半徑）

問題2：我們已經學習過直線的方程，如何確定圓的方程呢？（要確定圓關鍵是什么？）

由圓的定義，運用坐標法求出圓的方程.其中圓心和圓上一動點到圓心的距離是關鍵.

（三）探究圓（建構數學）

問題3：如何由圓的定義，利用坐標法求以C（a，b）為圓心，以r 為半徑的圓的方程？（幾何畫板演示畫圓）

第一步：建立直角坐標系.

第二步：設P（x，y）是所求圓上任一點.

第三步：根據題意|CP|= r.由距離公式，得 （x-a）2+（y-b）2 =r.

第四步：兩邊平方，化簡得（x-a）2+（y-b）2=r2.

歸納2：通過坐標系，把點和坐標、曲線和方程聯系起來，達到數形結合的方法稱為解析法 （也稱坐標法）.

求曲線方程的一般步驟：建系、設點、列式、化簡.

歸納3：方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r >0）叫做以C（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標準方程.

問題4： 當圓心為原點O（0，0）時，圓的方程為什么？答：x2+y2=r2.

問題5：那么確定圓的標準方程需要幾個獨立條件？

歸納4：由圓的標準方程知有三個參數a，b，r，只要求出a，b，r，這時圓的方程就被確定.

因此，確定圓的方程，需三個獨立的條件，圓心——確定圓的位置，半徑——確定圓的大小.

問題6：觀察圓的標準方程特點有哪些？

歸納5：（1）明確給出了圓心坐標和半徑；（2）確定圓的方程必須具備兩個條件，即圓心和半徑；（3）是關于x，y 的二元二次方程，注意“+”號.

（四）圓的標準方程的運用（數學應用）

運用一：已知圓心和半徑，求圓的標準方程.

例1 求以點C（-2，0）為圓心，r=3為半徑的圓的標準方程.

練習一：說出下列圓的方程：

（1）以C（1，-2）為圓心，半徑為3 的圓的方程；

（2）以原點為圓心，半徑為3 的圓的方程.

運用二：已知圓的標準方程，求圓心和半徑

例2 根據圓的方程寫出圓心和半徑（x-2）2+（y+1）2=5

練習二：說出下列圓的圓心及半徑：

（1）x2+y2=1；（2）（x-3）2+（y+2）2=16；

（3）（x+1）2+（y+1）2=2；（4）（x-1）2+（y-1）2=4.

方法總結：在圓的方程中，圓心坐標是取方程中x 項和y 項后的相反數，圓的半徑是取等號后面數值的開方數

運用三：已知條件求圓的標準方程

例3 求圓心為C（2，-3），且經過原點的圓的方程.

練習三：已知圓C 一條直徑的端點是A（-2，-2）B（6，6），求圓C 的方程.

（五）課堂訓練

【辯】指出下列方程是否是圓的標準方程，若是，寫出圓心坐標和半徑，并畫圖：1.（x-1）2+（y+2）2=4；2.（x-1）2+y2=0；

【認】如圖：在標號為1 到6 的6 個圓中（圖略）.

（1）找出方程（x-3）2+（y-3）2=1和 x+ 7 10 2+y2= 9 100 所對應的圖形.

（2）指出其余各圓的圓心坐標和圓的半徑，并求其標準方程.

【鞏】（表格，略）

【探】你能在坐標紙上自創一個與圓有關的圖案并設法求出圓的方程以及圓心坐標嗎？

教師展示：“機器人臉”（圖略）.

（六）回顧與反思

1.通過這節課你學到了哪些知識？

2.獲得哪些思想或方法？

3.本節課你還有哪些疑惑？

（七）作業與預習

1.必做題：

（1）讀書部分：閱讀教材8.4.2 和8.4.3 相關內容；

（2）書面作業：課本P92習題；

（3）完成表格（略）.

2.選做題

探究實際問題：已知隧道的截面是半徑為4 m 的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛，一輛寬為2.7 m，高為3 m 的貨車能不能駛入這個隧道？

3.思考題： （1）標準方程的展開式是圓的方程嗎？（2）所有的二元二次方程都表示圓嗎？如果不是，怎樣的二元二次方程才表示圓？

4.上網預習圓的一般方程：

http：//wenku.baidu.com/link？url=toyzVQXNIcl039aBLSGSFHRi9YA7OCIkEkS0OUfeg73 C GCELcMQBPSE0_OKEVtuL30SQONNP114X775J6vurNwaFqVoejG81R8RbfnGO.

（八）教學評價

通過學校數學課程網站或教師個人博客完成問卷調查、任務完成評價表.

數學家克萊因說：“數學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創作.音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切”.教師要使數學課堂教學得到預期的良好效果，讓學生學得津津有味，促進學生的能力提高和職業成長，可以通過充分挖掘數學中的美育因素，用春風化雨般的數學美使學生受到潛移默化，在精湛的教學設計和課堂布局中得到美的享受.